ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

4. Изменение результатов действий в зависимости от изменения данных

1. Изменение суммы и разности. Если одно из слагаемых увеличить (уменьшить) на какое-нибудь число, то на это же число увеличится (уменьшится) и сумма, т.е.,

если 𝑎 + 𝑏 = 𝑐, то (𝑎 + 𝑚) + 𝑏 = 𝑐 + 𝑚 и (𝑎 - 𝑚) + 𝑏 = 𝑐 - 𝑚.

Примеры. 5 + 8 = 13, тогда (5 + 2) + 8 = 13 + 2; 18 + 12 = 30, тогда (18 - 5) + 12 = 30 - 5.

Если уменьшаемое увеличится (уменьшится) на какое-нибудь число, то и разность увеличится (уменьшится) на то же число, т.е.,

если 𝑎 - 𝑏 = 𝑐, то (𝑎 + 𝑚) - 𝑏 = 𝑐 + 𝑚

и (𝑎 - 𝑚) - 𝑏 = 𝑐 - 𝑚.

Примеры. 18 - 12 = 6, тогда (18 + 5) - 12 = 6 + 5; 30 - 12 = 18, тогда (30 - 10) - 12 = 18 - 10.

Если вычитаемое увеличить (уменьшить) на какое-нибудь число, то разность уменьшится (увеличится) на то же число, т.е.,

если 𝑎 - 𝑏 = 𝑐, то 𝑎 - (𝑏 + 𝑚) = 𝑐 - 𝑚

и 𝑎 - (𝑏 - 𝑚) = 𝑐 + 𝑚.

Примеры. 45 - 12 = 33, тогда 45 - (12 + 3) = 33 - 3; 52 - 30 = 22, тогда 52 - (30 - 10) = 22 + 10.

Если одно слагаемое увеличить, а другое уменьшить на одно и то же число, то сумма не изменится, т.е.,

если 𝑎 + 𝑏 = 𝑐, то (𝑎 + 𝑚) + (𝑏 - 𝑚) = 𝑐.

Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить (или уменьшить) на одно и то же число, то разность не изменится, т.е.,

если 𝑎 - 𝑏 = 𝑐, то (𝑎 + 𝑚) - (𝑏 + 𝑚) = 𝑐

и (𝑎 - 𝑚) - (𝑏 - 𝑚) = 𝑐.

2. Изменение произведения и частного. Если один сомножитель увеличить (уменьшить) в несколько раз, то и произведение увеличится (уменьшится) во столько же раз.

В общем виде,

если 𝑎𝑏 = 𝑐, то (𝑎𝑚) 𝑏 = 𝑐𝑚

и (𝑎 : 𝑚) 𝑏 = 𝑐 : 𝑚.

Примеры. 5 · 6 = 30, тогда (5 · 4) · 6 = 30 · 4; 4 · 8 = 32, тогда (4 : 2) · 8 = 32 : 2.

Если один сомножитель произведения увеличить (уменьшить) в несколько раз, а другой уменьшить (увеличить) во столько же раз, то произведение не изменится, т.е.,

если 𝑎𝑏 = 𝑐, то (𝑎 : 𝑚)(𝑏𝑚) = 𝑐.

Пример. 25 · 10 = 250, тогда (25 : 5) · (10 · 5) = 250.

Если делимое увеличится (уменьшится) в несколько раз, то и частное увеличится (уменьшится) во столько dice раз, т.е.,

если 𝑎 : 𝑏 = 𝑐, то (𝑚𝑎) : 𝑏 = 𝑚𝑐

и (𝑎 : 𝑚) : 𝑏 = 𝑐 : 𝑚.

Примеры. 40 : 5 = 8, тогда (40 · 6) : 5 = 6 · 8; 440 : 11 = 40, тогда (440 :4) : 11 = 40 :4.

Если делитель увеличить (уменьшить) в несколько раз, то частное уменьшится (увеличится) во столько же раз, т.е.,

если 𝑎 : 𝑏 = 𝑐, то 𝑎 : (𝑏𝑚) = 𝑐 : 𝑚

и 𝑎 : (𝑏 : 𝑚) = 𝑐𝑚.

Примеры. 64 : 8 = 8, тогда 64 : (8 · 2) = 8 : 2; 81 : 9 = 9, тогда 81 : (9 : 3) = 9 · 3.

Если делимое и делитель увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то частное не изменится, т.е.,

если 𝑎 : 𝑏 = 𝑐, то (𝑎𝑚) : (𝑏𝑚) = 𝑐

и (𝑎 : 𝑚) : (𝑏 : 𝑚) = 𝑐.

Это свойство называют основным свойством частного.

Пример. 32 : 16 = (32 · 2) : (16 · 2) = 2 и 32 : 16 = (32 : 4) : (16 : 4) = 2.

3. Изменение остатка. Если делимое и делитель увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то частное не изменится, но остаток увеличится (или уменьшится) в то же число раз.

С помощью букв это записывается так: пусть 𝑎 - делимое, 𝑏 - делитель, 𝑞 - частное, 𝑟 - остаток; тогда

𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 (𝑟 < 𝑏), 𝑎𝑚 = (𝑏𝑚) 𝑞 + 𝑟𝑚,

𝑎 : 𝑚 = (𝑏 : 𝑚) 𝑞 + (𝑟 : 𝑚).

Об этом нельзя забывать при делении чисел, оканчивающихся нулями. Например, деление 84100 : 400 иногда выполняют так:

В действительности же для чисел 84100 и 400 остаток будет не 1, а 100, так как мы делили 841 сотню на 4 сотни и получили 210 и в остатке 1 сотню. Иначе: так как, зачеркнув нули, уменьшили делимое и делитель в 100 раз, то согласно правилу и остаток уменьшился в 100 раз, поэтому для получения остатка от деления заданных чисел, его надо увеличить в 100 раз. Таким образом, 84100 : · 400 = 210 (ост. 100).

5. Порядок действий, скобки

1. Порядок действий. При выполнении нескольких действий результат зависит от данных чисел и от порядка их выполнения. Так, например, 4 - 2 - 1 = 3, если производить действия в порядке их записи; если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1. Для предупреждения недоразумений вводятся соглашения, в каком порядке следует выполнять действия в выражении, записанном без скобок.

Действия сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень принято делить на три ступени. Сложение и вычитание называют действиями первой ступени, умножение и деление - действиями второй ступени, а возведение в степень - действием третьей ступени.

Если в выражении (без скобок) встречаются действия только первой или только второй ступени, то их выполняют в том порядке, в каком они написаны, слева направо.

Примеры.

а) 10 - 3 + 4 + 2 = 7 + 4 + 2 = 11 + 2 = 13;

б) 40 · 2 : 4 · 5 = 80 : 4 · 5 = 20 · 5 = 100.

Примечание. Такой порядок действий второй ступени не соответствует принятому в алгебре, где под выражением 𝑎 : 𝑏𝑐 всегда понимают (𝑎 деленное на произведение 𝑏𝑐).

Поэтому в некоторых новых руководствах по арифметике (для последнего случая) рекомендуется иной порядок действий, отвечающий принятому в алгебре: если в выражении встречаются действия только второй ступени, то сначала выполняется умножение, а затем деление. Следуя этому правилу, последний пример надо было бы решать так (И.К. Андронов. Арифметика. Учпедгиз, 1962, стр. 108):

40 · 2 : 4 · 5 = 80 : 20 = 4.

Однако пока в школе придерживаются традиционного правила.

Если в выражении встречаются действия разных ступеней, то сначала выполняют действия высших, а потом низших ступеней.

Пример. 2 · 52 - 3 · 3; 52 = 25; 2 · 25 = 50; 3 · 3 = 9; 50 - 9 = 41.

2. Скобки. При решении примеров, которые содержат скобки, действия нужно проводить в таком порядке: сначала выполнить действия, заключенные в скобки, потом остальные, согласно принятым выше правилам.

Пример. 9 + 16 : 4 - 2(16 - 2 · 7 + 4) + 6 · (2 + 5).

Решение. Сначала выполняем действия в скобках:

16 - 2 · 7 + 4 = 16 - 14 + 4 = 6; 2 + 5 = 7.

Затем выполняем остальные действия:

9 + 16 : 4 - 2 · 6 + 6 · 7 = 9 + 4 - 12 + 42 = 43.

Часто для указания порядка действий необходимо заключать в скобки такие выражения, которые уже сами содержат скобки. Тогда, кроме обычных круглых скобок ( ), применяют скобки квадратные []. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками {}. Вычисление подобных выражений проводится в следующем порядке: сначала - вычисление внутри всех круглых скобок в указанной выше последовательности; затем - вычисление внутри всех квадратных скобок по тем же правилам; далее - вычисление внутри фигурных скобок; наконец, выполняются остальные действия.

Пример. 5 + 2 · [14 - 3 · (8 - 6)] + 32: (10 - 2 · 3).

Решение. Выполняем действия в круглых скобках:

8 - 6 = 2; 10 - 2 · 3 = 10 - 6 = 4;

действия в квадратных скобках дают: 14 - 3 · 2 = 8; выполняя остальные действия, находим:

5 + 2 · 8 + 32 : 4 = 5 + 16 + 8 = 29.

6. Проверка арифметических действий

1. Проверка действий на основании зависимости между данными и результатами действий. Когда выполняют много вычислений, прибегают к контролю приводимых вычислений, т.е. к контролю правильности выполнения арифметических действий. Для этого чаще всего используют основные законы арифметических действий и зависимости между данными и результатами действий. Например, правильность выполнения сложения 243596 + 32483 = 276079 можно проверить сложением - переставив слагаемые, или вычитанием: 276079 - 243596 = 32483.

Аналогично проверяют правильность выполнения и других арифметических действий: вычитания, умножения и деления. Но иногда целесообразно пользоваться специальными приемами проверки вычислений, например "правилом девятки".

2. Правило девятки. Если надо проверить правильность выполнения сложения, часто делают так. Находят остатки от деления на 9 сумм цифр каждого слагаемого, складывают их и результат снова делят на 9. Полученный остаток сравнивают с остатком от деления на 9 суммы цифр найденной суммы. Если сложение выполнено верно, то эти остатки должны быть равны. Если же остатки не равны, значит сложение выполнено неверно.

Пример.

В данном примере остатки от деления на 9 сумм цифр слагаемых равны: 2, 3, 1, 2, их сумма равна 8. А остаток от деления на 9 суммы цифр результата 206521 равен 7. Значит, сложение выполнено неверно.

Аналогично можно проверять и правильность выполнения умножения. Только полученные остатки от деления на 9 сумм цифр со множителей надо не складывать, а перемножать.

Пример.

Здесь остатки от деления на 9 сумм цифр сомножителей равны 3 и 4. Их произведение 12. Разделив 12 на 9, получим остаток 3. Такой же остаток получается, если разделить на 9 сумму цифр числа 140286. Следовательно, можно надеяться, что умножение выполнено верно.

Примечание. Правило девятки не всегда дает возможность обнаружить ошибку в вычислениях. Например, если бы вместо верного ответа 140286 получили 140376 или 142086, правило девятки не обнаружило бы ошибки, ведь остатки от деления на 9 суммы цифр каждого из этих чисел равны 3. Следовательно, этот способ проверки не является достаточным. Однако подобные ошибки, когда найденный результат отличается от верного только порядком цифр и др., маловероятны.

Так как вычитание и деление есть действия, обратные сложению и умножению, и правильность вычисления разности и частного проверяется соответственно сложением и умножением, то правило девятки можно применять также для контроля вычитания и деления.

Известен также способ проверки арифметических действий (Б.А. Тулинов, Я.Ф. Чекмарев. Теоретическая арифметика. Учпедгиз, М., 1940, стр. 111) при помощи числа 11.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2021 контакт: koshka@cartalana.org