КАБАРДИН О.Ф. "ФИЗИКА (справочные материалы)", 1991

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

59. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

В природе и технике, кроме поступательного и вращательного движений, часто встречается еще один вид механического движения - колебания.

Совершают колебания ветви дерева на ветру и маятник в часах, поршень в цилиндре двигателя внутреннего сгорания и земная кора во время землетрясений, струна гитары и поверхностный слой воды на море. Общий признак колебательного движения во всех этих примерах - точное или приблизительное повторение движения через одинаковые промежутки времени. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно или приблизительно через одинаковые промежутки времени.

Свободные и вынужденные колебания. Силы, действующие между телами внутри рассматриваемой системы тел, называют внутренними силами. Силы, действующие на тела системы со стороны других тел, не входящих в эту систему, называют внешними силами.

Свободными колебаниями называют колебания, возникающие под действием внутренних сил. По этому признаку колебания груза, подвешенного на пружине, или шарика на нити (рис. 213) являются свободными колебаниями. Колебания под действием внешних периодически изменяющихся сил называются вынужденными колебаниями. Вынужденные колебания совершают поршень в цилиндре автомобильного двигателя и нож электробритвы, игла швейной машины и резец строгального станка.

Рис. 213

Условия возникновения свободных колебаний. Рассмотрим условия возникновения свободных механических колебаний. Закрепим в лапке штатива один конец стальной пружины, а к другому концу подвесим груз. Груз может находиться в покое при условии равенства по модулю действующих на него противоположно направленных сил: силы тяжести и силы упругости , (рис. 214,а):

.

Рис. 214

Положение, в котором сумма векторов сил, действующих на тело, равна нулю, называется положением равновесия. При смещении груза вверх от положения равновесия из-за уменьшения деформации пружины сила упругости убывает, сила тяжести остается постоянной (рис. 214,б). Равнодействующая F этих сил направлена вниз, к положению равновесия. При смещении груза вниз из положения равновесия из-за увеличения деформации пружины сила упругости возрастает, а сила тяжести остается неизменной (рис. 214,в). Равнодействующая этих сил в этом случае направлена вверх, к положению равновесия.

Если груз поднять выше положения равновесия и затем отпустить, то под действием равнодействующей силы, направленной вниз, груз движется ускоренно до положения равновесия. После прохождения положения равновесия равнодействующая сила уже направлена вверх и поэтому тормозит движение груза, вектор ускорения а изменяет направление на противоположное. После остановки в нижнем положении груз движется ускоренно вверх, к положению равновесия, затем проходит его, испытывает торможение, останавливается, начинает двигаться ускоренно вниз и т.д. - процесс периодически повторяется.

Аналогичные процессы происходят при колебаниях груза, подвешенного на нити.

Рассмотрев различные примеры свободных механических колебаний, можно выделить условия их возникновения:

1) Силы, действующие на тело, или хотя бы одна из них, должны зависеть от координат. В одном определенном положении тела в пространстве, называемом положением равновесия, равнодействующая всех сил, действующих на тело, должна быть равна нулю. При выведении тела из положения равновесия равнодействующая всех сил должна быть отлична от нуля и направлена к положению равновесия.

2) Силы трения, в системе должны быть достаточно малы.

Аналитическое и графическое представление колебаний. Для описания колебаний как процесса, происходящего во времени, используются способы аналитического и графического их представления.

Для аналитического описания колебаний тела относительно положения равновесия задается функция , выражающая зависимость смещения от времени :

.

График этой функции дает наглядное представление о протекании процесса колебаний во времени. Получить такой график можно построением по точкам графика функции в координатных осях (рис. 215).

Рис. 215

Период и частота колебаний. Общим признаком механических колебаний как физического процесса является повторяемость процесса движения через определенный промежуток времени. Миндальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний. Период колебаний (обозначается буквой ) выражается в секундах.

Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

(59.1)

Частота определяет число колебаний, происходящих за 1 с. Единица частоты - герц (Гц). 1 Гц = 1 с-1. В физике и технике широко используется понятие циклической частоты. Циклическая частота определяет число колебаний, происходящих за с. Связь между циклической частотой и частотой задается выражением

. (69.2)

Циклическая частота и период колебаний связаны соотношением

. (59.3)

60. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Гармонические колебания. Гармоническими колебаниями называют колебания, описываемые уравнением

. (60.1)

Здесь - смещение тела от положения равновесия, - циклическая частота колебаний, - время.

Амплитуда и фаза колебаний. Модуль максимального смещения тела от положения равновесия называется амплитудой колебаний. Величина, стоящая под знаком косинуса, называется фазой гармонического колебания:

. (60.2)

Фаза колебаний в начальный момент времени называется начальной фазой.

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях. Найдем, как зависят от времени скорость и ускорение тела, совершающего гармонические колебания по закону

(60.3)

вдоль координатной оси 𝑂𝑋. Скорость движения тела определяется выражением

Более строго проекция скорости поступательного движения тела на ось 𝑂𝑋 определяется как производная координаты по времени:

(60.4)

Для определения проекции ускорения движения тела в любой момент времени необходимо найти производную от проекции скорости по времени :

(60.5)

Гармонические колебания под действием силы упругости. Из уравнений (60.3) и (60.5) следует, что

. (60.6)

При гармонических колебаниях тела вдоль оси 𝑂𝑋 ускорение прямо пропорционально смещению тела от положения равновесия.

Примером силы, пропорциональной смещению тела, является сила упругости. По закону Гука сила упругости прямо пропорциональна деформации тела:

.

Действие силы упругости может вызывать возникновение гармонических колебаний. Примером гармонических колебаний, возникающих под действием силы упругости, могут служить колебания груза, подвешенного на стальной пружине, колебания струны.

Если тело массой совершает под действием силы упругости гармонические колебания с циклической частотой , то, применив второй закон Ньютона для проекции ускорения , получим

(60.7)

С другой стороны, ускорение при гармонических колебаниях с циклической частотой определяется в любой момент времени выражением (60.6). Из выражений (60.6) и (60.7) устанавливается связь между циклической частотой , жесткостью деформируемого тела и массой тела:

(60.8)

(60.9)

Математический маятник. Тело небольших размеров, подвешенное на нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела, называют математическим маятником. При вертикальном положении нити действие силы тяжести уравновешивается действием силы упругости . Это положение является положением равновесия.

При малых отклонениях маятника от положения равновесия возникает равнодействующая сил тяжести и упругости, направленная к положению равновесия (рис. 216), и его колебания являются гармоническими. Период колебаний равен

(60.10)

Рис. 216

Зависимость периода колебаний маятника от ускорения свободного падения используется для точных измерений ускорения свободного падения на поверхности Земли. По результатам измерений можно обнаружить району залегания полезных ископаемых - железной руды, нефти, газа.

61. ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ ПРИ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ

Превращения энергии при механических колебаниях. При отклонении математического маятника от положения равновесия его потенциальная энергия в поле тяготения увеличивается, так как увеличивается расстояние от поверхности Земли. При движении к положению равновесия скорость маятника возрастает, его кинетическая энергия увеличивается. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения запаса потенциальной энергии маятника в результате уменьшения расстояния от поверхности Земли.

В положении равновесия кинетическая энергия имеет максимальное значение, а потенциальная энергия минимальна. После прохождения положения равновесия происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, скорость маятника уменьшается и при максимальном отклонении становится равной нулю. При колебательном движении маятника всегда происходят периодические взаимные превращения его кинетической и потенциальной энергии.

Реальные механические колебания не происходят без потерь энергии. При любом механическом движении тел в результате их взаимодействия с окружающими телами часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул. Амплитуда колебаний постепенно уменьшается, и через некоторое время после начала колебаний маятник останавливается.

Свободные механические колебания всегда оказываются затухающими колебаниями, т.е. колебаниями с убывающей амплитудой.

Явление резонанса. В системе при возбуждении колебаний под действием периодически изменяющейся внешней силы амплитуда колебаний сначала постепенно увеличивается. Через некоторое время после начала действия переменной силы устанавливаются вынужденные колебания с постоянной амплитудой и с периодом, равным периоду внешней силы (рис. 217).

Рис. 217

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется амплитудой действующей силы и потерями энергии в колебательной системе. Потери энергии в колебательной системе при установившихся вынужденных колебаниях за период равны работе внешних сил за это же время.

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты изменения силы. Максимального значения амплитуда вынужденных колебаний достигает при частоте колебаний внешней силы, примерно равной собственной частоте колебаний системы:

.

Явление возрастания амплитуды установившихся вынужденных колебаний до максимального значения при приближении частоты изменения внешней силы к частоте свободных колебаний системы называется резонансом.

Пример зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы постоянной амплитуды представлен на рисунке 218. По оси абсцисс отсчитывается частота изменения силы, действующей на систему, по оси ординат - амплитуда вынужденных колебаний.

Рис. 218

При совпадении частоты изменения силы с собственной частотой колебаний системы сила в течение всего периода оказывается направленной в ту же сторону, что и вектор скорости колеблющегося тела. Поэтому в течение всего периода внешняя сила совершает положительную работу, увеличивая амплитуду колебаний тела. При любой другой частоте в течение одной части периода сила совершает положительную работу, увеличивая запас энергии в системе, в течение другой части периода та же сила совершает отрицательную работу, уменьшая запас энергии в колебательной системе.

Так как при резонансе внешняя сила совершает за период максимальную положительную работу над колебательной системой, то условие резонанса можно определить как условие максимальной передачи энергии колебательной системе.

При отсутствии трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна возрастать со временем неограниченно. В реальных системах амплитуда колебаний в установившемся режиме резонанса определяется условием равенства потерь энергии в течение периода и работы внешней силы за то же время. Чем меньше трение, тем больше амплитуда при резонансе.

Явление резонанса может быть причиной разрушения машин, зданий, мостов и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы. Поэтому, например, двигатели в автомобилях устанавливаются на специальных амортизаторах, а воинским подразделениям при движении по мосту запрещается идти в "ногу".

Конструкторы самолетов, ракет, мостов, зданий и других строений должны знать, какова собственная частота колебаний конструируемых ими машин и сооружений, чтобы исключить возможность воздействия на них периодических внешних сил с частотой, близкой к частоте собственных колебаний.

Автоколебательная система. Автоколебаниями называются незатухающие колебания в системе, поддерживаемые внутренними источниками энергии при отсутствии воздействия внешней переменной силы.

В отличие от вынужденных колебаний, частота и амплитуда автоколебаний определяются свойствами самой колебательной системы.

От свободных колебаний автоколебания отличаются независимостью амплитуды от времени и от начального кратковременного воздействия, возбуждающего процесс колебаний.

Рис. 219

Автоколебательную систему обычно можно разделить на три основных элемента: 1) колебательную систему; 2) источник энергии; 3) устройство с обратной связью, регулирующее поступление энергии из источника в колебательную систему. Энергия, поступающая из источника за период, равна энергии, потерянной в колебательной системе за то же время. Примером механической автоколебательной системы могут служить часы с маятником. В них колебательной системой является маятник, источником энергии - гиря, поднятая над землей, или стальная пружина (рис. 219). Основными деталями устройства, осуществляющего обратную связь, служит храповое колесо 1 и анкер 2. Гиря (или пружина) вызывает вращение храпового колеса. При каждом колебании маятника зубец храпового колеса толкает анкерную вилку в таком направлении, что разгоняет маятник. В результате запас энергии, израсходованной на трение, восполняется за счет энергии гири, поднятой над землей, или закрученной пружины. Вращение стрелок часов осуществляется с помощью зубчатых колес от храпового колеса.

62. РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ В УПРУГОЙ СРЕДЕ

Поперечные волны. Твердые, жидкие, газообразные тела больших размеров можно рассматривать как среду, состоящую из отдельных частиц, взаимодействующих между собой силами связи. Возбуждение колебаний частиц среды в одном месте вызывает вынужденные колебания соседних частиц, те в свою очередь возбуждают колебания следующих и т.д.

Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.

Возьмем длинный резиновый шнур и заставим один конец шнура совершать вынужденные колебания в вертикальной плоскости. Силы упругости, действующие между отдельными частями шнура, приведут к распространению колебаний вдоль шнура, и мы увидим волну, бегущую вдоль шнура.

Другой пример механических волн - волны на поверхности воды.

При распространении волн в шнуре или на поверхности воды колебания происходят перпендикулярно направлению распространения волн. Волны, в которых колебания происходят перпендикулярно направлению распространения, называются поперечными волнами.

Продольные волны. Не всякие волны можно увидеть. После удара молотком по ветви камертона мы слышим звук, хотя никаких волн в воздухе не видим. Ощущение звука в наших органах слуха возникает при периодическом изменении давления воздуха. Колебания ветви камертона сопровождаются периодическими сжатиями и разрежениями воздуха вблизи нее. Эти процессы сжатия и разрежения распространяются в воздухе во все стороны (рис. 220). Они и являются звуковыми волнами.

Рис. 220

При распространении звуковой волны частицы среды совершают колебания вдоль направления распространения колебаний. Волны, в которых колебания происходят вдоль направления распространения волны, называют продольными волнами.

Продольные волны могут возникать в газах, жидкостях и твердых телах; поперечные волны распространяются в твердых телах, в которых возникают силы упругости при деформации сдвига или под действием сил поверхностного натяжения и силы тяжести.

Как в поперечных, так и в продольных волнах процесс распространения колебаний не сопровождается переносом вещества в направлении распространения волны. В каждой точке пространства частицы лишь совершают колебания относительно положения равновесия. Но распространение колебаний сопровождается передачей энергии колебаний от одной точки среды к другой.

Длина волны. Скорость распространения волны. Скорость распространения колебаний v в пространстве называется скоростью волны. Расстояние между ближайшими друг к другу точками, колеблющимися в одинаковых фазах (рис. 221), называется длиной волны. Связь между длиной волны , скоростью волны и периодом колебаний дается выражением

. (62.1)

Так как , то скорость волны связана с частотой колебаний уравнением

. (62.2)

Рис. 221

Зависимость скорости распространения волн от свойств среды. При возникновении волн их частота определяется частотой колебаний источника волн, а скорость зависит от свойств среды. Поэтому волны одной и той же частоты имеют различную длину в разных средах.

63. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ

Скорость звука. Раздел физики, занимающийся изучением звуковых явлений, называется акустикой, а явления, связанные с возникновением и распространением звуковых волн, называются акустическими явлениями.

Важным событием в развитии акустики было экспериментальное определение скорости распространения звука. Первые опыты по измерению скорости звука в воздухе были поставлены еще в XVII в. В этих опытах измерялось время между моментом наблюдения световой вспышки и моментом прихода звука при выстреле из пушки. Скорость распространения света в этих опытах принималась бесконечно большой, поэтому скорость звука определялась по известному расстоянию до пушки и времени распространения звука:

По современным измерениям скорость звука в воздухе при нормальных условиях равна 331 м/с.

Процесс распространения сжатия или разрежения в газе происходит в результате столкновений молекул газа, поэтому скорость распространения звука в газе примерно равна скорости теплового движения молекул. Средняя скорость теплового движения молекул уменьшается с понижением температуры газа, поэтому уменьшается с понижением температуры газа и скорость распространения звука. Например, в водороде при понижении температуры от 300 до 17 К скорость звука уменьшается от 1300 до 320 м/с.

Связь между атомами и молекулами в жидкостях и твердых телах значительно более жесткая, чем в газах. Поэтому скорость распространения звуковых волн в жидкостях и твердых телах значительно больше скорости звука в газах. Например, скорость звука в воде равна 1500 м/с, а в стали 6000 м/с.

Громкость звука. Любые звуки человек характеризует в соответствии со своим восприятием по уровню громкости.

Сила воздействия звуковой волны на барабанную перепонку человеческого уха зависит от звукового давления.

Звуковое давление - это дополнительное давление, возникающее в газе или жидкости при прохождении звуковой волны. Нижняя граница ощущения звука человеческим ухом соответствует звуковому давлению примерно 10-5 Па, т.е. 10-10 от нормального атмосферного давления. Верхняя граница звукового давления, при достижении которой возникает ощущение боли в ушах, равна примерно 100 Па. Звуковые волны с большой амплитудой изменения звукового давления воспринимаются человеческим ухом как громкие звуки, с малой амплитудой изменения звукового давления - как тихие звуки.

Высота звука. Звуковые колебания, происходящие по гармоническому закону, воспринимаются человеком как определенный музыкальный тон. Колебания высокой частоты воспринимаются как звуки высокого тони, звуки низкой частоты - как звуки низкого тона. Диапазон звуковых колебаний, соответствующий изменению частоты колебаний в два раза, называется октавой. Так, например, тон "ля" первой октавы соответствует частоте 440 Гц, тон "ля" второй октавы - частоте 880 Гц.

Звуковые колебания, не подчиняющиеся гармоническому закону, воспринимаются человеком как сложный звук, обладающий тембром. При одной высоте тона звуки, издаваемые, например, скрипкой и пианино, отличаются тембром.

Диапазон частот звуковых колебаний, воспринимаемых человеческим ухом, лежит в пределах примерно от 20 до 20000 Гц. Продольные волны в среде с частотой изменения давления менее 20 Тц называются инфразвуком, с частотой более 20000 Гц - ультразвуком.

Акустический резонанс. Звуковые волны, встречаясь с любым телом, вызывают вынужденные колебания. Если частота собственных свободных колебаний тела совпадает с частотой звуковой волны, то условия для передачи энергии от звуковой волны телу оказываются наилучшими - тело является акустическим резонатором. Амплитуда вынужденных колебаний при этом достигает максимального значения - наблюдается акустический резонанс.

Акустическими резонаторами являются трубы духовых инструментов, органа. В этом случае телом, испытывающим резонансное колебание, является воздух в трубе.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org