КАБАРДИН О.Ф. "ФИЗИКА (справочные материалы)", 1991

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

МЕХАНИКА

1. МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

Механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Механическое движение тел изучает механика. Раздел механики, описывающий геометрические свойства движения без учета масс тел и действующих сил, называется кинематикой.

Путь и перемещение. Линия, по которой движется точка тела, называется траекторией движения. Длина траектории называется пройденным путем. Вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории, называется перемещением.

Движение тела, при котором все его точки в данный момент времени движутся одинаково, называется поступательным движением. Для описания поступательного движения тела достаточно выбрать одну точку и описать ее движение (рис. 1).

Рис. 1

Движение, при котором траектории всех точек тела являются окружностями с центрами на одной прямой и все плоскости окружностей перпендикулярны этой прямой, называется вращательным движением (рис. 2).

Рис. 2

Поступательное и вращательное движения - самые простые примеры механического, движения тел.

При движении автомобиля по дороге его кузов движется поступательно, а колеса совершают вращательное движение относительно осей.

Материальная точка. Тело, размерами которого в данных условиях движения можно пренебречь, называют материальной точкой.

Тело можно рассматривать как материальную точку, если его размеры малы по сравнению с расстоянием, которое оно проходит, или по сравнению с расстояниями от него до других тел. Космический корабль, пролетающий 8 км за 1 с, при наблюдении с поверхности Земли вполне можно рассматривать как материальную точку. Но космонавт, находящийся в космическом корабле, не может считать свой корабль материальной точкой.

Когда траекторией движения материальной точки является прямая линия и направление движения не изменяется, модуль вектора перемещения равен пройденному пути. Если точка движется по криволинейной траектории, то модуль вектора перемещения меньше пройденного пути (рис. 3).

Рис. 3

Если в конкретных условиях тело можно рассматривать как материальную точку, мы будем говорить о координатах тела и траектории движения тела.

Метр. Для определения координат тела необходимо уметь измерять расстояние на прямой между двумя точками. Любой процесс измерения физической величины заключается в сравнении измеряемой величины с единицей измерения этой величины. Единица для измерения длины может быть выбрана произвольно, но для удобства в науке и технике, в торговле и в быту в настоящее время условились во всех странах пользоваться одной единицей длины - метром.

Эталон единицы длины - метр - изготовлен из очень прочного сплава иридия и платины.

Метр равен примерно 1/40000000 части земного меридиана.

По современному определению метр - это расстояние, которое свет проходит в пустоте за 1/299792458 долю секунды. Таким образом, современное определение единицы расстояния связано с определением единицы измерения времени - секундой.

Секунда. Для измерения времени выбирается какой-либо природный периодический процесс или процесс, регулярно повторяющийся в специально изготовленном приборе - часах.

До недавнего времени основой для измерения времени служили астрономические наблюдения за движением Солнца и звезд. Суточное движение Солнца и звезд происходит из-за вращения Земли вокруг своей оси.

Сутки делятся на 24 часа, 1 час - на 60 минут, 1 минута - на 60 секунд; поэтому 1 секунда равна 1/24·60·60 доле суток. Длительность суток определялась из астрономических наблюдений. Однако точные современные часы позволяют обнаружить, что из-за изменения направления ветров и океанских течений, из-за влияния приливов вращение Земли вокруг своей оси то ускоряется, то замедляется. Строго повторяющимися являются периодические процессы в мире атомов. Поэтому для точных измерений времени используются атомные часы. Секунда равна 9192631770 периодам излучения атома цезия при переходе между двумя уровнями сверхтонкой структуры основного состояния.

В Международной системе единиц (СИ) длина и время приняты за независимые от других величины. Подобные величины называются основными. Длина и время - основные величины в Международной системе единиц, они используются для определения других величин этой системы.

Система отсчета. Относительность механического движения. Чтобы описать механическое движение тела (точки), нужно знать его координаты в любой момент времени. Для определения координат материальной точки следует прежде всего выбрать тело отсчета и связать с ним систему координат. В механике часто телом отсчета служит Земля, с которой связывается прямоугольная декартова система координат (рис. 4). Для определения положения материальной точки в любой момент времени необходимо также задать начало отсчета времени.

Рис. 4

Система координат, тело отсчета, с которым она связана, и указание начала отсчета времени образуют систему отсчета, относительно которой рассматривается движение тела.

Траектория движения тела, пройденный путь и перемещение зависят от выбора системы отсчета. Другими словами, механическое движение относительно.

Скорость. Для количественной характеристики процесса движения тела вводится понятие скорости движения.

Мгновенной скоростью поступательного движения тела в момент времени называется отношение очень малого перемещения к малому промежутку времени , за который произошло это перемещение:

. (1.1)

Мгновенная скорость - векторная величина.

При последовательном уменьшении длительности промежутка времени направление вектора перемещения приближается к касательной в точке 𝐴 траектории движения, через которую проходит тело в момент времени (рис. 5). Поэтому вектор скорости лежит на касательной к траектории движения тела в точке 𝐴 и направлен в сторону движения тела.

Рис. 5

Формула (1.1) позволяет установить единицу скорости.

В Международной системе (СИ) единицей расстояния является метр, единицей времени - секунда; поэтому скорость выражается в метрах в секунду:

.

Метр в секунду равен скорости прямолинейно и равномерно движущейся точки, при которой точка за время 1 с перемещается на расстояние 1 м.

Равномерное прямолинейное движение. Движение с постоянной по модулю и направлению скоростью называется равномерным прямолинейным движением. При равномерном прямолинейном движении тело движется по прямой и за любые равные промежутки времени проходит одинаковые пути.

Классический закон сложения скоростей. Выясним, как связаны между собой скорости движения тела в различных системах отсчета. Рассмотрим такой пример. Вагон движется по прямолинейному участку железнодорожного пути равномерно со скоростью относительно Земли. Пассажир движется относительно вагона со скоростью , векторы скоростей и имеют одинаковое направление. Найдем скорость пассажира относительно Земли. Перемещение пассажира относительно Земли за малый промежуток времени равно сумме перемещений за этот промежуток времени вагона относительно Земли и пассажира относительно вагона (рис. 6):

или .

Рис. 6

Отсюда скорость пассажира относительно Земли равна

(1.2)

Мы получили, что скорость пассажира в системе отсчета, связанной с Землей, равна сумме скоростей пассажира в системе отсчета, связанной с вагоном, и вагона относительно Земли.

Этот вывод справедлив для любых направлений векторов скорости и скорости . Закон, выражаемый формулой (1.2), называется классическим законом сложения скоростей.

2. РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ

Движение любого тела в реальных условиях никогда не бывает строго равномерным и прямолинейным. Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным движением.

Ускорение. При неравномерном поступательном движении скорость тела изменяется с течением времени. Процесс изменения скорости тела характеризуется ускорением. Ускорением называется векторная величина, равная отношению очень малого изменения вектора скорости к малому промежутку времени , за которое произошло это изменение:

. (2.1)

Рис. 7-8

Если за промежуток времени тело из точки 𝐴 траектории переместилось в точку 𝐵 и его скорость изменилась от до , то изменение скорости за этот промежуток времени равно разности векторов и :

.

Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости при очень малых значениях промежутка времени , за который происходит изменение скорости.

Если тело движется прямолинейно и скорость его возрастает по модулю, т.е. , то направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора скорости (рис. 7); при убывании скорости по модулю, т.е. при , направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости (рис. 8).

При движении тела по криволинейной траектории направление вектора скорости изменяется в процессе движения, вектор ускорения при этом может оказаться направлен под любым углом к вектору скорости (рис. 9).

Рис. 9

Самый простой вид неравномерного движения - это равноускоренное движение. Равноускоренным называется движение с ускорением, постоянным по модулю и направлению:

. (2.2)

Из формулы (2.1) следует, что при выражении скорости в метрах в секунду, а времени в секундах ускорение выражается в метрах на секунду в квадрате:

.

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно и равноускоренно движущейся точки, при котором за время 1 с скорость точки изменяется на 1 м/с.

Скорость равноускоренного движения. При равноускоренном движении с начальной скоростью ускорение равно

(2.3)

где - скорость в момент времени . Отсюда скорость равноускоренного движения равна

. (2.4)

Проекции скорости и ускорения. Для выполнения расчетов скоростей и ускорений необходимо переходить от записи уравнений в векторной форме к записи уравнений в алгебраической форме.

Векторы начальной скорости и ускорения могут иметь различные направления, поэтому переход от уравнения (2.4) в векторной форме к уравнениям в алгебраической форме может оказаться довольно сложной задачей. Задача нахождения модуля и направления скорости равноускоренного движения в любой момент времени может быть успешно решена следующим путем. Как известно, проекция1 суммы двух векторов на какую-либо координатную ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Поэтому для нахождения проекции вектора скорости на произвольную ось 𝑂𝑋 нужно найти алгебраическую сумму проекций векторов и на ту же ось:

. (2.5)

Проекцию вектора на ось считают положительной, если от проекции начала к проекции конца вектора нужно идти по направлению оси, и отрицательной - в противоположном случае.

Так, в случае расположения векторов и , представленном на рисунке 10, их проекции и на ось 𝑂𝑋 положительны. В случае расположения векторов и , представленном на рисунке 11, проекция положительна, а проекция отрицательна.

Рис. 10-11

График скорости. Из уравнения (2.5) следует, что графиком зависимости проекции скорости равноускоренного движения от времени является прямая. Если проекция начальной скорости на ось 𝑂𝑋 равна нулю ( ), то эта прямая проходит через начало координат (рис. 12).

Графики зависимости проекции скорости от времени для равноускоренных движений, происходящих с одинаковой начальной скоростью и различным ускорением , приведены на рисунке 13.

Рис. 12-13

Перемещение тела при равномерном движении. Установим связь проекции вектора перемещения на координатную ось 𝑂𝑋 при равномерном прямолинейном движении с проекцией вектора скорости на ту же ось и временем .

При равномерном прямолинейном движении график зависимости проекции скорости от времени является прямой, параллельной оси абсцисс (рис. 14).

Рис. 14

Проекция перемещения тела за время при равномерном движении со скоростью (см. формулу 1.1) определяется выражением

. (2.6)

Длина стороны 𝑂𝐴 прямоугольника 𝑂𝐴𝐵𝐶 (см. рис. 14) пропорциональна проекции скорости , длина стороны 𝑂𝐶 - времени движения . Следовательно, площадь прямоугольника 𝑂𝐴𝐵𝐶 прямо пропорциональна произведению или проекции перемещения .

Перемещение тела при равноускоренном прямолинейном движении. График зависимости проекции скорости тела от времени при равноускоренном прямолинейном движении представлен на рисунке 15.

Рис. 15

Для вычисления проекции перемещения тела при равноускоренном прямолинейном движении за время найдем сначала перемещение за малый промежуток времени .

Если промежуток времени очень мал, то и изменение скорости за этот промежуток времени очень мало, т.е. движение в течение этого промежутка времени можно считать равномерным. При равномерном движении со скоростью, равной мгновенной скорости в момент времени, определяемый серединой промежутка времени , проекция перемещения за промежуток времени равна и пропорциональна площади прямоугольника 𝑎𝑏𝑐𝑑. Площадь прямоугольника 𝑎𝑏𝑐𝑑 равна площади трапеции 𝑎𝑏'𝑐'𝑑.

Разбив промежуток времени от 0 до на малые промежутки времени , мы получим, что проекция перемещения при равноускоренном прямолинейном движении за время пропорциональна площади трапеции 𝑂𝐵𝐶𝐷. Трапецию 𝑂𝐵𝐶𝐷 можно представить состоящей из прямоугольника 𝑂𝐵𝐴𝐷 и прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Сумма их площадей равна

.

Отсюда для проекции перемещения при равноускоренном прямолинейном движении получается выражение

. (2.7)

Уравнение для координаты точки при равноускоренном движении. Для нахождения координаты точки в любой момент времени нужно к начальной координате точки прибавить проекцию вектора перемещения на ось 𝑂𝑋 (рис. 16):

. (2.8)

Рис. 16

Из выражений (2.8) и (2.7) следует:

. (2.9)

Связь проекции перемещения тела с конечной скоростью при равноускоренном движении. Из уравнений (2.5) и (2.7) можно получить уравнение, связывающее проекции конечной скорости , начальной скорости и ускорения с проекцией перемещения тела :

. (2.10)

В случае равенства проекции начальной скорости нулю получаем выражение

. (2.11)

Из этого выражения можно найти проекции скорости или ускорения по известному значению проекции перемещения :

, (2.12)

. (2.13)

1Проекцией вектора на координатную ось называется длина отрезка между проекциями начала и конца вектора на ось, взятая со знаком "+" или "-".

3. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ

Среди различных видов криволинейного движения особый интерес представляет равномерное движение тела по окружности. Это самый простой вид криволинейного движения. Вместе с тем любое сложное криволинейное движение тела на достаточно малом участке его траектории можно приближенно рассматривать как равномерное движение по окружности.

Центростремительное ускорение. При равномерном движении по окружности значение скорости остается постоянным, а направление вектора скорости изменяется в процессе движения. Определим ускорение тела, движущегося равномерно по окружности радиусом . За интервал времени тело проходит путь .

Этот путь равен длине дуги 𝐴𝐵 (рис. 17). Векторы скоростей и в точках 𝐴 и 𝐵 направлены по касательным к окружности в этих точках, угол между векторами и равен углу между радиусами 𝑂𝐴 и 𝑂𝐵.

Рис. 17

Для нахождения вектора ускорения нужно найти разность векторов скорости и определить отношение изменения скорости к малому интервалу времени , за который произошло это изменение:

.

Из подобия треугольников 𝑂𝐴𝐵 и 𝐵𝐶𝐷 следует

. (3.1)

Если интервал времени мал, то мал и угол . При малых значениях угла длина хорды 𝐴𝐵 примерно равна длине дуги 𝐴𝐵, т.е. . Так как и , то из выражения (3.1) получаем

, (3.2)

. (3.3)

Поскольку

, (3.4)

из выражений (3.3) и (3.4) получаем

. (3.5)

Из рисунка 17 видно, что, чем меньше угол , тем ближе направление вектора к направлению на центр окружности. Так как вектор ускорения равен отношению вектора к интервалу времени при условии, что интервал времени очень мал, то вектор ускорения при равномерном движении по окружности направлен к ее центру.

При изменении положения тела на окружности меняется направление на центр окружности. Следовательно, при равномерном движении тела по окружности модуль ускорения имеет постоянное значение, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Ускорение при равномерном движении по окружности называется центростремительным ускорением.

Период и частота. Промежуток времени, за который тело совершает полный оборот при движении по окружности, называется периодом. Период обращения тела по окружности обозначается буквой . Так как длина окружности равна , период обращения при равномерном движении тела со скоростью по окружности радиусом равняется

. (3.6)

Величина, обратная периоду обращения, называется частотой обращения. Частота обращения обозначается греческой буквой "ню" ( ) и показывает, сколько оборотов по окружности совершает тело в единицу времени:

или . (3.7)

Единица частоты - 1/с.

Используя формулы (3.5), (3.6) и (3.7), можно получить формулы для вычисления центростремительного ускорения:

(3.8)

и . (3.9)

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org