ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

51. Бином Ньютона

1. Произведение биномов, отличающихся только вторыми членами. Выражение 𝑥 + 𝑎, как и вообще всякий двучлен, называется биномом. Обыкновенным умножением находим:

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑖² + (𝑎 + 𝑏) 𝑥 + 𝑎𝑏,

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐) = 𝑖³ + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝑖² + (𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) 𝑥 + 𝑎𝑏𝑐,

(𝑖 + 𝑎)(𝑖 + 𝑏)(𝑖 + 𝑐)(𝑖 + 𝑑) = 𝑖 ⁴ + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑) 𝑖³ +

+ (𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑒 + 𝑑𝑒) 𝑖² + (𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑒 + 𝑎𝑐𝑒 + 𝑏𝑐𝑒) 𝑖 + 𝑎𝑏𝑐𝑒.

Эти произведения представляют собой многочлены, расположенные по убывающим степеням 𝑥. Все они составлены по одному и тому же закону: показатель первого члена равен числу перемножаемых биномов, показатели при 𝑥 в следующих членах убывают на 1; последний член не содержит 𝑥 (т.е. содержит его в нулевой степени).

Коэффициент первого члена есть 1; коэффициент второго члена есть сумма всех вторых членов перемножаемых биномов; коэффициент третьего члена есть сумма всех произведений вторых членов, взятых по два; коэффициент четвертого члена есть сумма всех произведений вторых членов, взятых по три, и т.д. Последний член есть произведение всех вторых членов.

Эта закономерность применима к произведению какого угодно числа биномов, т.е. верна формула

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐)... (𝑖 + 𝑘) = 𝑖𝑚 + 𝑆 ₁ 𝑖𝑚 -1 + 𝑆 ₂ 𝑖𝑚 -2 +... + 𝑆𝑚,

где

𝑆 ₁ = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 +... + 𝑘,

𝑆 ₂ = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 +... + ik,

𝑆 ₃ = 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑑 +...

...

𝑆𝑚 = 𝑎𝑏𝑐... ik.

Пример. Найти произведения биномов:

(𝑥 - 1)(𝑥 + 2)(𝑥 - 3)(𝑖 + 4).

Решение.

𝑆 ₁ = (-1) + 2 + (-3) + 4 = 2;

𝑆 ₂ = (-1) · 2 + (-1) · (-3) + (-1) · 4 + 2(-3) + 2 · 4 + (-3) · 4 = -7;

𝑆 ₃ = (-1) · 2 · (-3) + (-1) · 2 · 4 + (-1) · (-3) · 4 + 2 · (-3) · 4 = -14;

𝑆 ₄ = (-1) · 2 · (-3) · 4 = 24.

Итак,

(𝑖 - 1)(𝑖 + 2)(𝑥 - 3)(𝑥 + 4) = 𝑥⁴ + 2𝑖³ - 13𝑖² - 14𝑖 + 24.

2. Формула бинома Ньютона. Если в приведенной выше формуле все вторые члены биномов одинаковы, т.е. 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = ... = 𝑘, тогда левая часть будет степень бинома (𝑥 + 𝑎)𝑚, a 𝑆 ₁ 𝑆 ₂, ..., 𝑆𝑚 будут соответственно равны .

Таким образом, мы получаем

Эта формула называется формулой бинома Ньютона. Ее можно записать и так:

Примечание. Формулы квадрата суммы и куба суммы есть частные случаи этой общей формулы.

Пример.

3. Биномиальные коэффициенты и их свойства. Коэффициентом первого члена разложения бинома есть 1 (или ), второго - , третьего - и т.д. Коэффициент последнего, (𝑚 + 1)-го члена равен . Эти коэффициенты называются биномиальными. Общий член разложения имеет вид:

Из этой формулы можно получить все члены (кроме первого), подставляя вместо 𝑛 числа: 1, 2, 3, ..., 𝑚.

Биномиальные коэффициенты имеют следующие свойства:

1) Коэффициенты членов, одинаково удаленных от концов разложения, равны между собой, т.е.

2) Для получения коэффициента следующего члена достаточно умножить коэффициент предыдущего члена на показатель буквы 𝑖 в этом члене и разделить на число членов, предшествующих определяемому, т.е.

3) Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2𝑚, т.е.

4) Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, т.е.

4. Примеры и задачи на бином Ньютона.

Задача 1. В разложении коэффициент пятого члена относится к коэффициенту третьего члена, как 7 : 2. Найти тот член этого разложения, который содержит 𝑥 в первой степени.

Решение. Биномиальный коэффициент пятого члена равен , коэффициент третьего члена равен . Тогда, по условию,

отсюда 𝑛 = 9.

Пусть теперь номер члена, содержащего 𝑥 в первой степени, равен 𝑘 + 1. Тогда

По условию, показатель степени 𝑥 должен быть равен 1. Значит, , отсюда 𝑘 = 3.

Итак, член, содержащий 𝑥 в первой степени, есть четвертым членом разложения и равен .

Задача 2. В разложении биномиальный коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго. Найти свободный член.

Решение. Коэффициент третьего члена будет , а коэффициент второго - . По условию . Решая уравнение , получаем 𝑛 = 11 (отрицательное значение отбрасываем). Находим свободный член:

Чтобы 𝑖 был в нулевой степени, нужно чтобы , т.е. 𝑘 = 3. Итак, свободный член равен .

Задача 3. Найти все рациональные члены разложения , не выписывая члены иррациональные.

Решение. Напишем общий член разложения данного бинома:

Рациональными члены будут тогда, когда будет целым числом. Выясним, при каких 𝑛 это выражение будет целым.

Чтобы для 𝑛 получались целые значения, нужно придавать значения 𝑚, кратные пяти, но при этом такие, чтобы число 𝑛 не выходило из интервала 0 и 20. Такие значения для 𝑚 будут: -10; -5; 0; 5, а соответствующие числа для 𝑛 : 20, 14, 8, 2. Искомые члены будут:

Задача 4. Дано многочлен

𝑖 (2 - 3𝑥)5 + 𝑖3(1 + 2𝑖2)7 - 𝑥4(3 + 2𝑥3)9.

Найти коэффициент члена, содержащего 𝑥5, если выполнить указанные действия.

Решение. В разложении 𝑥 (2 - 3𝑥)5 член, содержащий 𝑥5, равен 𝑥𝑇4+1, где - пятый член разложения бинома (2 - 3𝑥)5:

В разложении 𝑥3(1 + 2𝑥2)7 член, содержащий 𝑥5, равен 𝑖3 𝑡1+1, где 𝑡1+1 - второй член разложения бинома (1 + 2𝑥2)7:

Разложение 𝑥4(1 + 2𝑥3)9 не содержит 𝑥5.

Итак, коэффициент члена (данного многочлена), содержащего 𝑥5, равен 824.

Задача 5. Многочлен 𝑥 ⁴ - 3𝑖³ + 𝑖² + 1 разложить по убывающим степеням 𝑥 + 1.

Решение. Заменив 𝑥 на (𝑥 + 1) -1, получим

𝑥 ⁴ - 3𝑖³ + 𝑖² + 1 = [(𝑥 + 1) - 1]⁴ - 3[(𝑥 + 1) - 1]³ + [(𝑥 + 1) - 1]² + 1.

Если теперь раскрыть по формуле бинома Ньютона выражение [(𝑥 + 1) - 1]𝑘, где 𝑘 = 2, 3, 4, рассматривая 𝑥 + 1 как один член, то после приведения подобных членов получим (𝑥 + 1)⁴ - 7(𝑥 + 1)³ + 16(𝑥 + 1)² - 15(𝑥 + 1) + 6.

Задача 6. Сколько рациональных членов содержится в разложении

?

Решение. Имеем:

Так как для рациональности члена показатели и должны быть целыми числами, то число 𝑛 должно быть кратно 3 и 2, т.е. кратно 6. Но 0 ≤ 𝑛 ≤ 100 и числа 𝑛, кратные шести, будут 0, 6, 12, ..., 96. Подсчитаем число 𝑚 их, получим: 96 = 0 + 6(𝑚 - 1), 6(𝑚 - 1) = 96, 𝑚 - 1 = 16, 𝑚 = 17.

5. Историческая справка о биноме Ньютона. Разложение выражения (𝑎 + 𝑏)ⁿ в ряд для целых значений 𝑛 было известно грекам лишь для случая 𝑛 = 2. Обобщение для любого целого 𝑛 было сделано среднеазиатскими математиками Омаром Хайямом и ал-Каши. Ал-Каши пользуется биномом для приближенного вычисления корня любой степени из целого числа; с этой целью он составил таблицу биномиальных коэффициентов.

Эта таблица носит название треугольника Паскаля. В Западной Европе она впервые была опубликована в руководствах по арифметике Апиануса в 1527 г. и Штифеля в 1544 г. В 1556 г. Тарталья также опубликовал таблицу биномиальных коэффициентов, причем объявил ее своим изобретением. В 1631 г. исследованием таблицы занимался Аутред, изобретатель логарифмической линейки; несколько позже, в 1654 г., была опубликована работа Паскаля.

В 1676 г. формулу бинома распространил на отрицательные и дробные показатели И. Ньютон, хотя не дал ее доказательства. Последнее было дано Маклореном для рациональных значений π, Эйлером в 1774 г. для дробных показателей. Наконец, в 1825 г. великий норвежский математик Нильс Гендрик Абель (1802-1829) доказал теорему бинома для любого комплексного числа 𝑛.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org