ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

4. Биквадратное уравнение. Уравнение четвертой степени, в которое входят только четные степени неизвестного, называется биквадратным. Его записывают так:

𝑎𝑥⁴ + 𝑏𝑥² + 𝑐 = 0.

Это уравнение приводится к квадратному при помощи замены 𝑖² = 𝑧; имеем 𝑎𝑧² + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0. Формула решений биквадратного уравнения такова:

Она дает четыре корня биквадратного уравнения, а именно:

Пример. Решить уравнение 𝑧⁴ - 13𝑖² + 36 = 0.

Решение. 𝑖² = 𝑧. Получаем уравнение 𝑧² - 13𝑧 + 36 = 0. Тогда 𝑧₁ = 9, 𝑧₂ = 4. Из равенства 𝑖² = 𝑧, подставляя вместо 𝑧 найденные числа 9 и 4, получаем следующие четыре решения данного уравнения: 𝑥₁ = 3, 𝑥₂ = -3, 𝑥₃ = 2, 𝑖₄ = -2.

5. Трехчленное уравнение. Трехчленными называются уравнения вида:

𝑎𝑥2𝑛 + 𝑏𝑥𝑛 + 𝑐 = 0

(частный случай такого уравнения при 𝑛 = 2 есть биквадратное уравнение). Трехчленное уравнение с помощью замены 𝑥 ⁿ = 𝑧 приводится к квадратному уравнению

𝑎𝑧² + 𝑏𝑧 + 𝑐 = 0,

откуда

Подставив в равенство 𝑥 ⁿ = 𝑧 вместо 𝑧 его значения 𝑧₁ и 𝑧 ₂, получим два двучленных уравнения 𝑛 -й степени:

Решив, если возможно, эти двучленные уравнения, мы получим все решения данного трехчленного уравнения.

Пример. Решить уравнение 𝑥 ⁶ - 9𝑖³ + 8 = 0.

Решение, 𝑖³ = 𝑧, 𝑧² - 9𝑧 + 8 = 0. Тогда 𝑧₁ = 8 и 𝑧 ₂ = 1; следовательно, 𝑖³ = 8 и 𝑖³ = 1.

Решив эти двучленные уравнения третьей степени, получим шесть значений для 𝑥 :

6. Симметричные уравнения. Уравнения вида

𝑎𝑥𝑛 + 𝑏𝑥𝑛 -1 + 𝑐𝑥𝑛-2 +... + 𝑐𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0,

у которого коэффициенты членов, равно удаленных от начала и конца, равны, называются симметричными, или возвратными.

Например, 𝑖 ⁷ + 2𝑥 ⁶ - 5𝑥 ⁵ - 13𝑥⁴ - 13𝑖³ - 5𝑖² + 2𝑥 + 1 = 0.

Симметричное уравнение имеет следующее свойство: если число 𝑥₁ есть его решение, то обратное число также будет его решением (Ни один из корней симметричного уравнения не может быть равным нулю).

Симметричное уравнение может быть как четной, так и нечетной степени.

Способ решения этого уравнения четной степени покажем на при мере уравнения четвертой степени:

𝑎𝑥⁴ + 𝑏𝑥³ + 𝑐𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0.

Разделив обе части уравнения на 𝑖² (так как 𝑥 ≠ 0), получим

Сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами:

Заменяя новой буквой 𝑦, получим

Следовательно, симметричное уравнение четвертой степени приводится к квадратному уравнению.

Симметричное уравнение четной степени можно привести с помощью подстановки к уравнению в два раза меньшей степени, чем степень исходного. Для этого делят все члены данного уравнения на 𝑥 ⁿ (если степень данного была 2𝑛) и группируют члены, равноотстоящие от конца и начала. После этого делают замену по формулам:

и т.д.

Симметричное уравнение нечетной степени имеет корень 𝑥 = -1. Если это уравнение поделить на 𝑖 + 1, то получится симметричное уравнение четной степени, на единицу меньше степени исходного уравнения.

Таким образом, всякое симметричное уравнение нечетной степени приводится к двум уравнениям: 𝑥 + 1 = 0 и симметричному уравнению четной степени, на единицу меньше степени исходного уравнения.

Рассмотренные выше уравнения называют симметричными уравнениями первого рода.

Уравнения вида

𝑎𝑥2𝑘 + 𝑏𝑥2𝑘-1 + 𝑐𝑥2𝑘-2 +... + 𝑑𝑥𝑘+1 + 𝑙𝑥𝑘 -𝑑𝑥𝑘-1 +... + (-1)𝑘-1 𝑏𝑥 + (-1)𝑘𝑎 = 0

называются симметричными уравнениями второго рода. Решаются эти уравнения тем же методом, но новое неизвестное 𝑦 связывается с 𝑥 соотношением

Пример. Решить уравнение

2𝑖 ⁵ + 5𝑖⁴ - 13𝑖³ - 13𝑖² + 5𝑥 + 2 = 0.

Решение. Это симметричное уравнение нечетной степени, следовательно, оно имеет корень 𝑥 = -1. Разделим многочлен, имеющийся в левой части данного уравнения, на 𝑖 + 1:

Следовательно, для определения остальных корней данного уравнения надо решить уравнение

или

Полагая , получим 2(𝑦² - 2) + 3𝑦 - 16 = 0, откуда 𝑦₁ = -4, 𝑦 ₂ = 2,5.

Следовательно, 𝑖² + 4𝑥 + 1 =0 и 2𝑖² - 5𝑥 + 2 = 0.

Ответ.

СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ НЬЮТОНА

49. Соединения

1. Множества. Теория соединений, или, как ее еще называют, комбинаторика, - это раздел элементарной алгебры, где изучаются некоторые операции над конечными множествами и решаются задачи, связанные с этими операциями.

Понятия множества - одно из неопределяемых основных понятий в математике. С этим понятием встречаемся во всех ее разделах. Так, в арифметике рассматривают множество натуральных чисел, множество простых чисел; в алгебре - множество многочленов, корней данного уравнения и т.п. Объекты, составляющие множество, называются элементами этого множества. Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным. Такими множествами являются множество всех двузначных чисел, множество вершин данного многоугольника, множество его диагоналей и т.д. Множество, содержащее неограниченное количество элементов, называется бесконечным. Бесконечным множеством, например, является множество всех натуральных чисел, всех простых чисел и т.д.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым.

Если всякий элемент множества 𝑎 есть элементом множества 𝐵, то множество 𝑎 называют подмножеством множества 𝑏. Подмножеством множества 𝐵 считают также пустое множество и само множество 𝐵; их называют несобственными подмножествами; остальные подмножества называют собственными.

Множество 𝑀 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, ...} называется упорядоченным, если между его элементами установлено некоторое соотношение 𝑎 < 𝑏 (читают: " 𝑎 предшествует 𝑏 "), имеющее следующие свойства:

1) для каких-либо двух элементов 𝑎 и 𝑏 действительно одно и только одно из соотношений 𝑎 = 𝑏, 𝑎 < 𝑏, 𝑏 > 𝑎;

2) для всяких трех элементов 𝑎, 𝑏 и 𝑐 из соотношений 𝑎 > 𝑏 и 𝑏 > 𝑐 следует соотношение 𝑎 > 𝑐.

2. Перестановки. Пусть мы имеем множество 𝑀, состоящее из 𝑛 элементов: 𝑎₁, 𝑎 ₂, 𝑎 ₃, ..., 𝑎𝑛. Если переставлять эти элементы все возможными способами, оставляя неизменным их общее число, получим несколько последовательностей:

𝑎1 𝑎2 𝑎3... 𝑎𝑛,

𝑎2 𝑎1 𝑎3... 𝑎𝑛,

𝑎𝑛 𝑎3 𝑎2... 𝑎1 и т.д. (Записывая перестановки, обычно между их членами не ставят запятых. Однако на приведенный выше записи ни в коем случае нельзя смотреть как на произведения)

Каждую из этих последовательностей называют перестановкой из данных 𝑛 элементов.

Пример. Ниже приведены 6 всевозможных перестановок из букв 𝑎, 𝑏 и 𝑐 :

𝑎𝑏𝑐, 𝑎𝑐𝑏, 𝑏𝑎𝑐, 𝑏𝑐𝑎, 𝑐𝑎𝑏, 𝑐𝑏𝑎.

Итак, перестановкой из 𝑛 элементов называется всякая конечная последовательность, которая получается в результате упорядоченности некоторого конечного множества, состоящего из 𝑛 элементов.

Если множество имеет некоторое число элементов, то его можно упорядочить несколькими способами. Число всех перестановок из 𝑛 элементов обозначается 𝑝𝑛. Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до 𝑛 включительно:

𝑝𝑛 = 1 · 2 · 3 · 4... (𝑛 - 1) 𝑛.

Произведение 𝑛 первых натуральных чисел принято обозначать символом 𝑛 !:

1 · 2 · 3 · 4 · 5 ·... · 𝑛 = 𝑛 !

Символ 𝑛 ! читают "эн факториал". Это слово происходит от латинского factor, что значит множитель.

Примечание. При 𝑛 = 1 в выражении 1 · 2 · 3, ... 𝑛 остается одно число 1. Поэтому принимается (в качестве определения), что 1! = 1. При 𝑛 = 0 выражение 1 · 2, ..., 𝑛 вовсе лишается смысла. Однако принимается (в качестве определения), что 0! = 1.

Итак, 𝑝𝑛 = 𝑛 !

Верна также следующая формула:

𝑝𝑛 = 𝑛 · 𝑝𝑛 -1

Пример. Каким числом способов можно рассадить 8 зрителей в ряду из 8 мест?

Решение. 𝑝8 = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320.

3. Сочетания (комбинации). Пусть имеем множество 𝑀, состоящее из 𝑛 различных элементов.

Всякое подмножество множества 𝑀, содержащее 𝑘 элементов (𝑘 = 0, 1, 2, ..., 𝑛), называется сочетанием или комбинацией из данных 𝑛 элементов по 𝑘 элементов.

Из определения следует, что два различных сочетания из данных 𝑛 элементов по 𝑘 элементов отличаются по крайней мере одним элементом.

Пример. Из множества цифр 1, 2, 3, 4 можно образовать такие сочетания по два элемента: 1, 2; 1, 3; 1, 4; 2, 3; 2, 4; 3, 4.

Число различных сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑘 обозначается символом (combinatio от combinare (лат.) - соединять). Но иногда вместо пишут .

Число всех сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑘 элементов, где 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, равно произведению 𝑘 последовательных натуральных чисел, из которых наибольшее есть 𝑛, деленному на произведение последовательных натуральных чисел от 1 до 𝑘

Формулу для можно записать в ином виде. Умножив числитель и знаменатель дроби в правой части ее на произведение 1 · 2 · 3... (𝑛 - 𝑘), получим

или

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org