ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

Примечание. Относительно комплексных чисел не принято никакого соглашения, какое из них считать больше другого.

2. Действия над комплексными числами. Над комплексными числами производятся такие же действия, как и над вещественными. Чтобы произвести какое-нибудь действие над комплексными числами вида 𝑎 + 𝑏𝑖, надо произвести действия над двучленами такого вида по тем правилам, которые известны для двучленов с вещественными членами, и, наконец, в результате заменить везде 𝑖² на -1. Исходя из этого, действия над комплексными числами определяются так.

Сложение. Суммой комплексных чисел 𝑎 + 𝑏𝑖 и 𝑎' + 𝑏'𝑖 называется комплексное число (𝑎 + 𝑎') + (𝑏 + 𝑏') 𝑖.

Отсюда следует, что сумма сопряженных комплексных чисел 𝑎 + 𝑏𝑖 и 𝑎 - 𝑏𝑖 равна действительному числу (Сумма двух несопряженных комплексных чисел тоже может быть действительным числом, например (7 + 3𝑖) + (2 - 3𝑖) = 9) 2𝑎, комплексное число 𝑎 + 𝑏𝑖 можно рассматривать как сумму вещественного числа а и чисто мнимого числа 𝑏𝑖.

Примеры. (4 + 2𝑖) + (-3 + 𝑖) = 1 + 3𝑖; (0 + 2𝑖) + (0 + 5𝑖) = 0 + 7𝑖, т.е. 2𝑖 + 5𝑖 = 7𝑖; (-5 + 8𝑖) + (-3 - 8𝑖) = -8.

Для сложения комплексных чисел справедливы те же основные законы, что и для вещественных чисел:

(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑐 + 𝑑𝑖) + (𝑎 + 𝑏𝑖)

[(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖)) + (𝑚 + 𝑛𝑖) = (𝑎 + 𝑏𝑖) + [(𝑐 + 𝑑𝑖) + (𝑚 + 𝑛𝑖)].

Вычитание. Исходя из определения вычитания как действия, обратного сложению, разность комплексных чисел 𝑎 + 𝑏𝑖 и 𝑎' + 𝑏'𝑖 находят так:

(𝑎 + 𝑏𝑖) - (𝑎' + 𝑏'𝑖) = (𝑎 - 𝑎') + (𝑏 - 𝑏') 𝑖.

Разностью двух комплексных чисел может быть комплексное, действительное и чисто мнимое число.

Примеры. (1 - 𝑖) - (2 - 3𝑖) = - 1 + 2𝑖; (4 + 5𝑖) - (2 + 5𝑖) = 2 + 0𝑖 = 2; (9 -8𝑖) - (9 + 8𝑖) = -16𝑖.

Умножение. Произведением комплексных чисел 𝑎 + 𝑏𝑖 и 𝑎' + 𝑏'𝑖 называется комплексное число

(𝑎𝑎' - 𝑏𝑏') + (𝑎𝑏' + 𝑏𝑎') 𝑖.

Отсюда следует, что для умножения комплексных чисел достаточно перемножить их как алгебраические двучлены и в полученном результате заменить 𝑖² = -1.

Произведение сопряженных чисел (Произведение двух несопряженных комплексных чисел тоже может быть действительным числом; например (2 + 3𝑖)(4 - 6𝑖) = 26. Если же и сумма, и произведение двух комплексных чисел являются действительными числами, то эти комплексные числа непременно сопряженные) 𝑎 + 𝑏𝑖 и 𝑎 - 𝑏𝑖 есть вещественное число, равное 𝑎² + 𝑏².

Пример. (2 + 𝑖)(2 - 𝑖) = 4 - 𝑖² = 5.

Умножение комплексных чисел подчиняется тем же основным законам, что и умножение действительных чисел.

Деление. Деление комплексных чисел можно определить, как действие, обратное умножению. Отсюда следует, что частное от деления комплексного числа 𝑎 + 𝑏𝑖 на число 𝑎' + 𝑏'𝑖 равно

Практически удобнее всего деление комплексных чисел проводить следующим образом: сначала умножить делимое и делитель на число, сопряженное делителю, после чего делитель станет действительным положительным числом, а затем провести деление действительной и мнимой частей отдельно.

Пример.

Возведение в степень. Предварительно найдем результаты от возведения в степень мнимой единицы 𝑖, зная что 𝑖² - 1.

𝑖1 = 𝑖; 𝑖3 = - 𝑖; 𝑖5 = 𝑖; 𝑖7 = - 𝑖;

𝑖2 = - 1; 𝑖4 = 1; 𝑖6 = -1; 𝑖8 = 1.

Мы получили, таким образом, четыре чередующихся значения:

𝑖4𝑘 = +1; 𝑖4𝑘+1 = 𝑖; 𝑖4𝑘+2 = -1; 𝑖4𝑘+3 = - 𝑖,

где

𝑘 = 0, ±1, ±2 и т.д.

Следует иметь в виду, что 𝑖 ⁰ принимается равным 1.

Возведение комплексного числа в целую степень производится так:

Здесь 𝑛 - натуральное число. Умножение можно проводить последовательно. Кроме того, принимается (𝑎 + 𝑏𝑖)⁰ = 1.

Извлечение квадратного корня. Извлечение корня из комплексного числа есть действие, обратное возведению в степень, посредством которого по данной степени (подкоренное число) и данному показателю степени (показатель корня) находят основание (корень). В множестве комплексных чисел действие извлечения корня всегда выполнимо, и в результате получается столько значений, каков показатель корня. В частности, квадратный корень имеет два значения, которые находят по формуле

где знак "+" в скобках берется при 𝑏 > 0, а знак "-" - при 𝑏 < 0.

Пример.

3. Геометрическое изображение комплексных чисел. Известно, что действительные числа можно изображать точками на прямой. Комплексные числа 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 взаимно однозначно сопоставляются с парами действительных чисел (𝑎, 𝑏). Поэтому комплексное число 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 условились геометрически изображать точкой 𝑀, у которой в прямоугольной системе координат абсцисса равна 𝑎, а ордината 𝑏 (рис. 72).

Рис. 72

Комплексное число можно также изображать направленным отрезком (вектором) 𝑂𝑀, т.е. отрезком прямой, у которого указано, какая из ограничивающих его точек является началом и какая концом. В нашем случае 𝑂 есть начало, а 𝑀 - конец. Значит, комплексное число 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 изображают вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец - с точкой 𝑀. Сам вектор обозначают ; направление вектора указывает стрелка на его конце.

Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа. Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа 𝑎 + 𝑏𝑖 обозначают |𝑎 + 𝑏𝑖| а также буквой 𝑟. Из чертежа (рис. 72) видно, что

Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряженные комплексные числа 𝑎 + 𝑏𝑖 и 𝑎 - 𝑏𝑖 имеют один и тот же модуль.

Примеры.

Угол φ между положительным направлением оси абсцисс и вектором 𝑂𝑀, изображающим комплексное число 𝑎 + 𝑏𝑖, называется аргументом комплексного числа 𝑎 + 𝑏𝑖. Каждое комплексное число, не равное нулю, имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на целое число оборотов (т.е. на 360° 𝑘, где 𝑘 - любое целое число) (Для комплексного числа 𝑧 = 0 аргумент теряет смысл).

Аргумент φ комплексного числа 𝑎 + 𝑏𝑖 связан с 𝑎 и 𝑏 следующими формулами:

Однако ни одна из них в отдельности не позволяет найти аргумент по абсциссе и ординате. Покажем это на примерах.

Пример. Найти аргумент комплексного числа -3 -3i.

Решение. Первый способ. . Этому условию удовлетворяют как угол 45°, так и угол 225°. Но угол 45° не является аргументом числа -3 -3𝑖 (рис. 73). Правильный ответ будет φ = 225° (или -135°, или 585° и т.д.). Этот результат получится, если учесть, что абсцисса и ордината данного комплексного числа отрицательны. Значит, точка 𝑀 лежит в третьей четверти.

Рис. 73

Второй способ. . Формула для sin φ показывает, что он тоже отрицателен. Значит, угол φ принадлежит третьей четверти, так что φ = 225° ±360° 𝑘.

Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента называется главным. Так, для комплексного числа -3 -3𝑖 главное значение аргумента равно -135°.

Аргумент действительного положительного числа имеет главное значение 0°; для отрицательных чисел главным значением аргумента принято считать 180° (а не -180°).

У сопряженных комплексных чисел главные значения аргумента имеют одни и те же абсолютные значения, но противоположные знаки. Так, главные значения аргумента чисел -3 + 3𝑖 и -3 -3𝑖 равны соответственно 135° и -135°.

Для обозначения аргумента 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 приняты обозначения φ = Arg 𝑧, или φ = arg 𝑧. Первое употребляется для всевозможных значений аргумента; второе - для главного значения аргумента, выделяемого неравенством 0 ≤ φ ≤ 2π

46. Тригонометрическая форма комплексного числа

1. Определения. Общая форма записи комплексного числа, т.е. форма 𝑎 + 𝑏𝑖, называется алгебраической. Абсцисса 𝑎 и ордината 𝑏 комплексного числа 𝑎 + 𝑏𝑖 выражаются через модуль 𝑟 и аргумент φ (рис. 73) формулами

𝑎 = 𝑟 cos φ, 𝑏 = 𝑟 sin φ.

Тогда получим:

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟 (cos φ + 𝑖 sin φ).

Последнее выражение называется тригонометрической формой комплексного числа с модулем 𝑟 и аргументом φ. Любое число 𝑧 ≠ 0 может быть представлено в тригонометрической форме.

Пример 1. Представить в тригонометрической форме число -3 + 2𝑖.

Решение.

Тангенс отрицателен, следовательно, значение φ надо искать во второй и четвертой четвертях. Обращаясь к формулам для sin φ и cos φ, замечаем, что при 𝑎 = -3 и 𝑏 = 2 синус будет положителен, а косинус отрицателен, что имеет место во второй четверти (Удобнее четверть определять по знакам при 𝑎 и 𝑏. В данном случае 𝑎 = -3, 𝑏 = +2. Точку с такими координатами находят во второй четверти). По таблицам находим φ = 146° 18', значит .

Пример 2. Представить в тригонометрической форме число 1 - 𝑖.

Решение. Имеем: . Здесь 𝑎 = 1, а 𝑏 = -1. Следовательно, φ находится в четвертой четверти. Отсюда находим φ = 315° и можем написать:

Примечание. Так как 315° = 360° - 45° и cos 315° = cos 45°; sin 315° = sin (-45°) = -sin 45°, то это число можно записать и так:

Пример 3. Представить в тригонометрической форме действительное число 𝑚 > 0.

Решение. Так как 𝑚 = 𝑚 + 0 · 𝑖, то 𝑎 = 𝑚, 𝑏 = 0, и тогда

Следовательно, φ = 0 и можно написать:

𝑚 = 𝑚 (cos 0° + 𝑖 sin 0°)

или в общем виде

𝑚 = 𝑚 (cos 360° 𝑘 + 𝑖 sin 360° 𝑘).

Отсюда делаем вывод, что модулем положительного числа является само это число, а аргументом его есть 0° (или 360° 𝑘).

Пример 4. Представить в тригонометрической форме отрицательное число - 𝑚 (𝑚 > 0).

Решение. Так как - 𝑚 = - 𝑚 + 0 · 𝑖, то 𝑎 = - 𝑚, 𝑏 = 0, и мы имеем: 𝑟 = 𝑚, tg φ = 0, cos φ = -1. Следовательно, φ = 180°, и тогда

- 𝑚 = 𝑚 (cos 180° + 𝑖 sin 180°),

или в общем виде:

- 𝑚 = 𝑚 [cos (180° + 360° 𝑘) + 𝑖 sin (180° + 360° 𝑘)] = 𝑚 [cos 180° (2𝑘 + 1) + 𝑖 sin 180° (2𝑘 + 1)].

Следовательно, модулем отрицательного числа является его абсолютная величина, а аргумент равен 180°, или в общем виде 180°(2𝑘 + 1).

Пример 5. Выразить в алгебраической форме число

4(cos 30° + 𝑖 sin 30°).

Решение. Так как

то имеем:

Далее рассмотрим, как выполнять действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

Сложение и вычитание комплексных чисел проще и удобнее проводить, когда они даны в алгебраической форме. Для остальных алгебраических действий более удобна тригонометрическая форма.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org