ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

5. Действия с последовательностями. Теоремы о пределах. Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {𝑥𝑛} и {𝑦𝑛} называются соответственно последовательности: {𝑥𝑛 + 𝑦𝑛}, {𝑥𝑛 - 𝑦𝑛}, {𝑥𝑛 + 𝑦𝑛} и причем в последнем случае предполагается, что последовательность {𝑦𝑛} не содержит нулей.

Для сходящихся последовательностей справедливы теоремы: если последовательности {𝑥𝑛} и {𝑦𝑛} сходящиеся, то сходящимися будут также последовательности {𝑥𝑛 + 𝑦𝑛}, {𝑥𝑛 - 𝑦𝑛}, {𝑥𝑛 · 𝑦𝑛} и . В последнем случае предполагается, что .

Верны следующие формулы:

Эти равенства читаются так:

предел суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей, имеющих пределы, равен соответственно сумме, разности, произведению и частному пределов этих последовательностей. При этом в последнем случае (для частного) предполагается, что .

Пример. Известно, что

(𝑛 - натуральное число).

Найти пределы последовательностей:

Решение. Применяя теоремы о пределах сходящихся последовательностей, получаем:

а) ( следует рассматривать как предел последовательности 3, 3, ..., 3, ..., a как предел последовательности )

б)

42. Арифметическая прогрессия

1. Определения. Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, в которой каждое число, начиная со второго, равно предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для этой последовательности числом (положительным или отрицательным).

Числа, составляющие прогрессию, называются ее членами. Арифметическую прогрессию записывают так:

Общий член ее обозначают через 𝑎𝑛.

Число, которое надо прибавить к какому-нибудь члену, чтобы получить последующий, называется разностью арифметической прогрессии; ее обычно обозначают буквой 𝑑.

Пример 1. Последовательность чисел 10, 14, 18, 22, ..., 6 + 4𝑛, ... есть арифметическая прогрессия с разностью 4.

Пример 2. Последовательность чисел 1, -1, -3, ..., 3 - 2𝑛 есть арифметическая прогрессия с разностью -2.

Арифметическая прогрессия называется возрастающей, если всякий последующий член больше предыдущего (т.е. если 𝑑 > 0); и убывающей, если всякий последующий член меньше предыдущего (𝑑 < 0).

Любой член арифметической прогрессии равен первому ее члену, сложенному с произведением разности прогрессии на число членов, предшествующих определяемому, т.е. он выражается формулой:

𝑎𝑘 = 𝑎1 + (𝑘 - 1) 𝑑.

Всякий член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов, т.е.

Всякий член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое членов, равноудаленных от него, т.е.

Во всякой арифметической прогрессии 𝑎𝑚 + 𝑎𝑛 = 𝑎𝑝 + 𝑎𝑞, если 𝑚 + 𝑛 = 𝑝 + 𝑞. В частности, если прогрессия имеет конечное число членов, то сумма двух членов, равноотстоящих от ее концов, равна сумме крайних членов, т.е.

𝑎𝑘 + 𝑎𝑛 - 𝑘 +1 = 𝑎1 + 𝑎𝑛.

Сумма 𝑛 первых членов арифметической прогрессии выражается формулами

Используя формулу суммы 𝑛 первых членов прогрессии, можно вычислить суммы одинаковых степеней натуральных чисел:

2. Задачи на арифметическую прогрессию.

Задача 1. Определить последний член арифметической прогрессии, в которой

𝑎1 = 110, 𝑑 = -10, 𝑛 = 11.

Решение.

𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑑 (𝑛 - 1), 𝑎𝑛 = 110 - 10(11 - 1) = 110 - 10 · 10 = 10.

Ответ. 𝑎11 = 10.

Задача 2. Найти сумму членов арифметической прогрессии, в которой

𝑎1 = 100, 𝑑 = -2, 𝑛 = 30.

Решение.

Ответ. 𝑆30 = 2130.

Задача 3. Определить первый член и сумму членов арифметической прогрессии, в которой

𝑛 = 45, 𝑑 = 10, 𝑎𝑛 = 459.

Решение.

Ответ. 19; 10755.

Задача 4. Определить число членов и сумму членов арифметической прогрессии, в которой

Решение.

Ответ.

Задача 5. Между членами 7 и 35 поместить 6 чисел, которые с данными числами составили бы арифметическую прогрессию.

Решение. Из условия задачи следует, что 𝑎1 = 7, 𝑎𝑛 = 35, 𝑛 = 8. Тогда из формулы 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑑 (𝑛 - 1) имеем:

Следовательно, находим прогрессию 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, где числа 11, 15, 19, 23, 27, 31 искомые. Ответ. 11, 15, 19, 23, 27, 31.

Задача 6. Определить первый член, разность и число членов арифметической прогрессии, в которой

𝑎𝑛 = 55, 𝑎2 + 𝑎5 = 32,5; 𝑆15 = 412,5.

Решение.

После преобразований получаем систему уравнений

откуда

𝑑 = 2,5; 𝑎1 = 10.

Тогда

Ответ. 10; 2,5; 19.

Задача 7. Найти четыре последовательных нечетных числа, зная, что сумма их квадратов больше суммы квадратов заключенных между ними четных чисел на 48.

Решение. Обозначим нечетные числа через 𝑛, (𝑛 + 2), (𝑛 + 4), (𝑛 + 6). Тогда заключенные между ними четные числа будут (𝑛 + 1), (𝑛 + 3), (𝑛 + 5). Согласно условию

𝑛² + (𝑛 + 2)² + (𝑛 + 4)² + (𝑛 + 6)² = (𝑛 + 1)² + (𝑛 + 3)² + (𝑛 + 5)² + 48,

или

𝑛² + [(𝑛 + 2)² - (𝑛 + 1)²] + [(𝑛 + 4)² - (𝑛 + 3)²] + [(𝑛 + 6)² - (𝑛 + 5)²] - 48 = 0,

отсюда

𝑛² + 6𝑛 - 27 = 0.

Решив уравнение, получим 𝑛₁ = 3; 𝑛 ₂ = -9. Следовательно, искомыми числами будут 3, 5, 7, 9, или -9, -7, -5, -3.

Ответ. 3, 5, 7, 9; -9, -7, -5, -3.

43. Геометрическая прогрессия

1. Общие сведения. Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждое число, начиная со второго, равняется предшествующему; умноженному на одно и то же число, постоянное для этой последовательности.

Числа, составляющие прогрессию, называются ее членами. Геометрическую прогрессию записывают так:

∺ 𝑢₁, 𝑢 ₂, 𝑢 ₃, ..., 𝑢𝑛, ...

Общий член прогрессии обозначают через 𝑢𝑛.

Число, на которое надо умножить любой член геометрической прогрессии, чтобы получить последующий, называется знаменателем геометрической прогрессии; он обозначается буквой 𝑞.

Отсюда следует, что частное от деления каждого члена геометрической прогрессии на предыдущий равно знаменателю прогрессии. Знаменатель прогрессии может быть и положительным, и отрицательным числом.

Пример 1. Последовательность 8, -16, 32, -64, 128, -256, 512, ..., есть геометрическая прогрессия со знаменателем - 2.

Пример 2. Последовательность

есть геометрическая прогрессия со знаменателем .

Всякий член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен первому члену, умноженному на знаменатель прогрессии в степени, показатель которой равен числу членов, предшествующих определяемому, т.е. выражается формулой

𝑢𝑛 = 𝑢1 𝑞𝑛 -1

Отсюда следует, что геометрическую прогрессию, у которой первый член 𝑎, знаменатель 𝑞 и число всех членов 𝑛, можно записать так:

∺ 𝑢, 𝑢𝑞, 𝑢𝑞2, ..., 𝑢𝑞𝑛 -1.

Всякий член геометрической прогрессии связан с предыдущим и последующим ему членами такой зависимостью:

Во всякой геометрической прогрессии 𝑢𝑚 𝑢𝑛 = 𝑢𝑝 𝑢𝑞, если 𝑚 + 𝑛 = 𝑝 + 𝑞. В частности, если прогрессия имеет конечное число членов, то произведение двух членов, равноотстоящих от ее концов, равно произведению крайних членов.

Сумма членов геометрической прогрессии выражается формулой

или

Бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой по абсолютной величине меньше 1, называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Примеры бесконечно убывающих геометрических прогрессий:

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют предел суммы 𝑛 ее первых членов при бесконечном возрастании 𝑛 (𝑛 → ∞)

Следовательно, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна частному от деления первого члена этой прогрессии на разность единицы и знаменателя прогрессии.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2021 контакт: koshka@cartalana.org