ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

Примеры последовательностей:

1, 2, 3, ..., 𝑛, ...;

;

1, -1, +1, ..., 1, -1, ...;

2, 2, 2, ..., 2, ...

Последняя последовательность является примером постоянной последовательности. Если в последовательности есть последний член, то она называется конечной. Если последовательность имеет бесконечное множество членов, она называется бесконечной. Конечная последовательность может быть задана перечислением членов. Чтобы задать бесконечную последовательность {𝑥𝑛}, нужно указать правило, по которому любому натуральному числу 𝑛 можно привести в соответствие некоторое число 𝑥𝑛.

Как и функцию от действительного аргумента, последовательность можно задать с помощью формулы, табличным и графическим способами.

Например, последовательность нечетных натуральных чисел можно задать в виде формулы общего члена:

𝑥𝑛 = 2𝑛 - 1

или в виде таблицы:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ...

Можно задать ее также в виде графика, состоящего из изолированных друг от друга точек (рис. 67).

Рис. 67

Можно задать эту последовательность и с помощью точек на числовой оси (рис. 68). Постоянной последовательности на числовой прямой соответствует одна точка.

Рис. 68

Последовательность

на числовой оси изображается так, как показано на рис. 69.

Рис. 69

От задания последовательности с помощью формулы не трудно перейти к табличному или графическому способу ее задания.

Пример. Если 𝑥𝑛 = 𝑛 + (-1)𝑛, то, полагая 𝑛 = 1, 2, 3, ..., получим последовательность

0, 3, 2, 5, 4, 7, ...

Еще пример. Если

то, полагая 𝑛 = 1, 2, 3, ..., получим . Однако, если последовательность задана в виде таблицы, иногда очень трудно определить аналитическое выражение ее. Например, для последовательности простых чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...

вообще не известен общий член, несмотря на то, что многие математики упорно искали его на протяжении нескольких веков.

2. Предел последовательности. Число 𝑎 называется пределом последовательности 𝑥1 𝑥2, ..., 𝑥𝑛, ... (записывают ), если для любого ε > 0 существует число 𝑛, зависящее от ε, такое, что |𝑥𝑛 - 𝑎|< ε при 𝑛 > 𝑛.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела - расходящейся. Последовательность не может иметь более одного предела. Предел последовательности не изменится, если в начале ее приписать или исключить несколько членов.

Если последовательность имеет предел, это значит, что она будет изображаться такими точками на числовой оси, что все они, начиная с некоторой, лежат в произвольно малом отрезке, окружающем точку 𝑎 : (𝑎 - ε, 𝑎 + ε). Так, например, если мы построим последовательность

и окружим точку 𝑥 = 1 отрезком длины 2ε так, чтобы эта точка находилась в середине отрезка, то все точки войдут в этот отрезок (рис. 70), если только , т.е. если .

Рис. 70

Если последовательность, имеющую пределом число а, изобразить графически в прямоугольной системе координат, получим совокупность точек, все время приближающихся к прямой 𝑦 = 𝑎. Так, последовательность, изображенная на рис. 71, стремится слиться с прямой 𝑦 = 1, т.е. она имеет своим пределом 1. В этом легко убедиться, оценив разность

по абсолютной величине. Имеем:

Рис. 71

Тогда |𝑥𝑛 - 1|< ε, если , т.е. при 𝑛, удовлетворяющем неравенству .

Относительно последовательностей верны следующие утверждения.

а) Если последовательность {𝑥𝑛} сходится к пределу 𝑎 и 𝑎 > 𝑏 (𝑎 < 𝑏), то существует такой номер 𝑛, что для всех 𝑛 > 𝑛 верно неравенство 𝑥𝑛 > 𝑏 (𝑥𝑛< 𝑏).

б) Если последовательности {𝑥𝑛} и {𝑦𝑛}, сходящиеся и всегда 𝑥𝑛 ≥ 𝑦𝑛, то lim 𝑥𝑛 ≥ lim 𝑦𝑛.

в) Если для последовательностей {𝑥𝑛}, {𝑦𝑛} и {𝑧𝑛} всегда верны неравенства 𝑥𝑛 ≤ 𝑦𝑛 ≤ 𝑧𝑛 и lim 𝑥𝑛 = lim 𝑧𝑛 = а, то и lim 𝑦𝑛 = 𝑎.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Показать, что

Решение. Составим разность

Оценив эту разность по абсолютной величине, получим

если

Таким образом, для каждого положительного числа ε найдется число такое, что при 𝑛 > 𝑛 будет справедливо требуемое неравенство. Следовательно, число 2 является пределом последовательности

Пример 2. Показать, что последовательность

{𝑥𝑛} = {(-1)𝑛}

не имеет предела.

Решение. Предположим противное, что {𝑥𝑛} имеет пределом 𝑎.

Возьмем, например, , тогда по определению должно существовать такое натуральное число 𝑛, что при 𝑛 > 𝑛 будет . Но среди значений 𝑛 > 𝑛 всегда будут как четные, так и нечетные; если 𝑛 = 2𝑘, то 𝑥𝑛 = 1, а если 𝑛 = 2𝑘 + 1, то 𝑥𝑛 = - 1. Тогда имеют место неравенства:

но тогда

что невозможно, и предположение неверно; значит последовательность {𝑥𝑛} = {(-1)𝑛} не имеет предела.

Пример 3. . Определить, для каких значений 𝑛 величина

меньше 0,0001.

Решение. Для определения n надо решить неравенство

или

отсюда

Таким образом, будет меньше 0,0001 при 𝑛 ≥ 111.

3. Ограниченные и неограниченные последовательности. Последовательность {𝑥𝑛} называется ограниченной сверху (снизу), если все члены ее меньше (больше) некоторого числа.

Последовательность {𝑥𝑛} называется ограниченной, если она ограниченна и сверху и снизу, т.е. если существуют такие числа 𝑚 и 𝑀, что для всех 𝑛

𝑚 < 𝑥𝑛 < 𝑀.

Все члены ограниченной последовательности {𝑥𝑛} по своей абсолютной величине меньше некоторого числа |𝑥𝑛| < 𝑎.

Последовательность, имеющая предел, ограниченна.

Последовательность 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 0,3; 𝑥3 = 0,33, ... ограниченна, так как |𝑥𝑛|< 1.

Последовательность 𝑥𝑛 = (-1)𝑛 также ограниченна, так как |𝑖𝑛| = 1.

Примеры. Последовательность {𝑥𝑛 = 𝑛}, 𝑛 = 1, 2, 3, ... не ограниченна сверху, так как не существует такого числа 𝑀, чтобы все члены последовательности оставались меньше этого числа.

Последовательность {𝑥𝑛 = - 𝑛}, 𝑛 = -1, -2, -3, ... неограниченна снизу.

Бесконечная последовательность {𝑥𝑛} называется неограниченной, если для всякого наперед заданного числа 𝑎 существует такое 𝑛, что |𝑥𝑛| > 𝑎.

Если для любого положительного числа 𝑎 можно указать такое число 𝑛, что при 𝑛 > 𝑛, 𝑥𝑛 > 𝑎, то говорят, что 𝑥𝑛 стремится к плюс бесконечности, и это записывают так:

или

Если для любого отрицательного числа 𝑎 можно указать такое натуральное число 𝑛, что при 𝑛 > 𝑛 выполняется неравенство 𝑥𝑛 < 𝑎, то считают, что 𝑥𝑛 стремится к минус бесконечности и записывают так:

, или

4. Монотонные последовательности. Последовательность {𝑥𝑛} называется возрастающей (убывающей), если каждый последующий член ее больше (меньше) предыдущего, т.е. если

𝑖𝑛+1 > 𝑖𝑛(𝑥𝑛+1 < 𝑥𝑛).

Последовательность {𝑥𝑛} называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член ее не меньше (не больше) предыдущего, т.е. если

𝑥𝑛+1 ≥ 𝑖𝑛 (𝑖𝑛+1 ≤ 𝑖𝑛).

Последовательности возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие называются монотонными.

Пример 1. Показать, что последовательность

возрастающая.

Решение. Надо показать, что для каждого 𝑛

𝑥𝑛+1 > 𝑥𝑛, или 𝑖𝑛+1 - 𝑥𝑛 >0.

Действительно,

Для монотонных последовательностей справедлива теорема: Если монотонно возрастающая последовательность {𝑥𝑛} ограниченна сверху, то она имеет предел, в противном случае она стремится к +∞. Монотонно убывающая последовательность {𝑥𝑛}, ограниченная снизу, имеет конечный предел, в противном случае она стремится к -∞.

Пример 2. Исследовать на сходимость последовательность.

Решение. Последовательность {𝑥𝑛} возрастающая, так как

и при любом n имеет место неравенство

Принимая во внимание, что

получаем .

Как видим, данная последовательность монотонно вырастающая и ограниченная сверху, поэтому она имеет предел.

Для сходимости последовательности {𝑥𝑛} необходимо и достаточно, чтобы для любого наперед заданного числа ε > 0 существовало такое число 𝑛 = 𝑛 (ε) (Запись 𝑛 = 𝑛 (ε) обозначает, что число 𝑛 зависит от ε), при котором справедливо неравенство |𝑥𝑛+𝑝 - 𝑥𝑛 < ε при всяком 𝑛, большем 𝑛 (ε), и при произвольном натуральном числе 𝑝 (критерий Коши).

Пример. Исследовать на сходимость последовательность

Решение. Применяя критерий Коши, получаем:

По этому критерию разность должна быть меньше ε для всякого натурального числа 𝑝. Предположим, что 𝑝 = 𝑛, тогда имеем:

следовательно, условие Коши не выполняется, если взять 𝑝 = 𝑛. Значит последовательность расходящаяся.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org