ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

2. Деление. Это действие выполняется так.

На линейке против делимого, взятого на шкале 𝑑, устанавливают делитель, который берут на шкале 𝑐; против левого (или правого) конца шкалы 𝑐 читаем на шкале 𝑑 результат.

При делении можно получить результат как под правым, так и под левым концом шкалы движка.

Запятая в результате определяется прикидкой или по формуле 𝑞 = 𝑞₁ - 𝑞 ₂, если ползунок выдвинут влево, или по формуле 𝑞 = - 𝑞₁ - 𝑞 ₂ + 1, если ползунок выдвинут вправо. Здесь 𝑞₁ - порядок делимого, 𝑞 ₂ - порядок делителя, 𝑞 - порядок результата.

Для лучшего запоминания формул на линейке слева имеется запись 𝑞 + 1.

Пример. Вычислить . На линейке читаем: 3-1-4. Порядок делимого равен - 2, порядок делителя равен 0. Ползунок выдвинут влево. Поэтому порядок результата равен -2 - 0 = -2. Значит произведение равно 0,00314.

Примечание. Умножение и деление можно выполнять как на нижних шкалах 𝑐 и 𝑑, так и на верхних шкалах 𝑎 и 𝐵.

3. Совместное умножение и деление. Если приходится вычислять значение выражения вида 𝑥 = 𝑎𝑏 : 𝑐, то удобнее сначала делить 𝑎 на 𝑐 и результат умножить на 𝑏, т.е.

(𝑎 : 𝑐) · 𝑏.

Пример. Если 𝑥 = 84 · 5,3 : 6,45, то, поставив против метки 8-4-0 шкалы 𝑎 метку 6-4-5 шкалы 𝐵, наводим индекс на метку 5-3-0 шкалы 𝑏 и читаем метку 6-9-0 шкалы 𝑎. Прикидка 80 · 5 : 6 = 70 показывает, что надо взять 𝑥 = 69,0.

Аналогично этому вычисляют выражения более сложного вида:

4. Возведение в квадрат и извлечение корня. Переход от основной шкалы к шкале квадратов равносильный возведению числа в квадрат. Обратный переход равнозначный извлечению квадратного корня.

Чтобы возвести в квадрат число, надо найти его метку на шкале 𝑑 и прочитать противостоящую метку на шкале 𝑎.

Для извлечения квадратного корня из числа надо найти его метку на шкале 𝑎 и прочитать противостоящую метку на шкале 𝑑.

Порядок результата при возведении в квадрат определяется в зависимости от того, на какой половине квадратной шкалы находится результат:

а) если на левой, то порядок результата равен удвоенному порядку основания минус единица;

б) если на правой, то порядок результата равен удвоенному порядку числа, которое возводят в квадрат.

Пример 1. 0,0308² = 0,000949. Здесь порядок основания равен -1. Так как результат находится на левой подшкале, то его порядок равен 2(-1) - 1 = -3.

Пример 2. 417² = 174 000. Здесь порядок основания равен 3. Так как результат находится на правой подшкале, то его порядок равен 2 · 3 = 6.

Если порядок числа, стоящего под корнем, четное число или нуль, то это число ставят на правой подшкале квадратов, а если нечетное - на левой.

Порядок квадратного корня равен числу всех его граней слева от запятой (включая и неполные), если подкоренное число не меньше 1, и числу чисто нулевых граней, справа от запятой, если оно меньше 1, взятому со знаком минус (при этом "нуль целых" за грань не считается).

Пример 1. . Здесь порядок подкоренного числа равен -6. Устанавливаем подкоренное число на правой подшкале.

Подкоренное число меньше единицы и число его чисто нулевых граней равно 3; значит порядок корня будет -3.

Пример 2. . Здесь порядок подкоренного числа -3. Ставим его на левой подшкале. Так как подкоренное число меньше единицы, а число чисто нулевых граней равно 1, то порядок результата будет равен -1.

Пример 3. . Здесь порядок подкоренного числа 3. Ставим его на левой подшкале. Так как число больше 1 и число его граней слева от запятой равно 2, то и порядок результата также равен 2.

5. Возведение в куб и извлечение кубического корня. Переход от основной шкалы к шкале кубов равнозначный возведению числа в куб. Обратный переход равнозначный извлечению кубического корня.

Чтобы данное число возвести в куб, надо найти метку на шкале 𝑑 и прочесть противостоящую метку на шкале 𝐾.

Шкала кубов разбита на три одинаковые подшкалы (левая, средняя и правая).

Порядок третьей степени какого-либо числа (𝑝) определяется по формулам (𝑝 - порядок основания):

1) 𝑝 = 3𝑝 - когда результат читаем на правой подшкале кубов;

2) 𝑝 = 3𝑝 - 1 - когда результат читаем на средней подшкале кубов;

3) 𝑝 = 3𝑝 - 2 - когда результат читаем на левой подшкале кубов.

Примеры.

а) 20³ = 8000. Результат читаем на левой подшкале; следовательно, порядок его равен 2 · 3 - 2 = 4.

б) 0,315³ = 0,0313. Результат читаем на средней подшкале, следовательно, его порядок равен 0 · 3 - 1 = -1.

Чтобы извлечь кубический корень из числа, надо найти его метку на шкале 𝐾 и прочитать противостоящую метку на шкале 𝑑.

Чтобы поставить подкоренное число на линейке, разбиваем его мысленно на грани по три цифры так, чтобы запятая находилась между гранями. Если последняя справа грань окажется неполной, к ней нужно приписать один или два нуля, чтобы она стала полной. Неполнoй может оказаться и первая слева грань. В соответствии с тем, имеет ли первая грань одну, две или три цифры, подкоренное число ставят на левую, среднюю или правую подшкалу кубов.

Порядок корня третьей степени определяется по формулам:

1) - когда индекс на левой подшкале 𝑘;

2) - когда индекс на средней подшкале 𝑘;

3) - когда индекс на правой подшкале 𝐾.

Примеры.

а) . Первая слева грань подкоренного числа имеет одну цифру, следовательно, это число ставим на левую подшкалу. Порядок результата равен .

б) . Первая слева грань (грань, состоящую из одних нулей, не принимаем во внимание) имеет две цифры, следовательно, подкоренное число ставим на средней подшкале кубов. Порядок результата равен .

40. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке

Логарифмы были изобретены в первой четверти XVII в. Они явились ответом на настоятельную потребность астрономов, которым приходилось иметь дело с большим количеством очень трудоемких вычислений. Поэтому изобретение это было сделано почти одновременно разными лицами и усовершенствовано в течение очень короткого времени. По меткому выражению Лапласа, изобретение логарифмов, "сократив труд астронома, удвоило его жизнь".

Первым из изобретателей логарифмов был шотландский любитель-математик Джон Непер (1550-1617), который ввел и самый термин "логарифмы". Вычисленные им таблицы вышли в свет в 1614 г. под названием "Описание удивительных таблиц логарифмов"; они содержали, кроме логарифмов чисел от 1 до 1449, также логарифмы синусов, косинусов и тангенсов, вычисленные через каждую минуту дуги.

Однако таблицы Непера были неудобны для вычислений, что, впрочем, заметил и сам их автор. Он не определил основания своей системы, не знал и самого понятия основания системы. То же число, которое соответствовало основанию его системы, было обратно основанию натуральных логарифмов. Логарифмы Непера убывали с возрастанием числа, а числа типа 10 имели логарифмы с большим числом значащих цифр.

Первым из ученых, внесших в логарифмы существенные усовершенствования, был Генри Бригг (1556-1630), профессор геометрии в Лондоне. В качестве основания системы логарифмов Бригг выбрал число 10.

В 1624 г. Бригг опубликовал "Логарифмическую арифметику", которая содержала 14-значные логарифмы чисел от 1 до 20000 и от 90000 до 100000. Составление этих таблиц потребовало затраты огромного труда: для вычисления логарифма каждого опорного числа Бригг извлекал корень 54 раза с точностью до 32-го знака.

Одновременно с Бриггом над усовершенствованием изобретения Непера работал лондонский учитель математики Джон Спейдель, который в 1619 г. издал вычисленные им таблицы под названием "Новые логарифмы". Таблицы Спейделя включали логарифмы синусов, тангенсов и секансов. Несколько позже, в 1622 г., Спейдель опубликовал также таблицу логарифмов чисел. В качестве основания своей системы Спейдель избрал число 𝑒: от принятых в настоящее время натуральных логарифмов эта система отличалась лишь множителем 106.

В 1628 г. голландский математик Адриан Влакк опубликовал десятизначные таблицы логарифмов от 1 до 100000, а несколько позже - десятизначные таблицы тригонометрических функций. Влакк в своих таблицах применил бригговы логарифмы.

Одновременно с Бриггом и Спейделем над усовершенствованием и облегчением вычислений работал в Праге великий астроном Иоганн Кеплер (1571-1630) и швейцарский часовщик Иост Бюрги (1552-1632). Разработанная ими система была опубликована Бюрги в 1620 г. под названием "Арифметические и геометрические таблицы прогрессий вместе с основательным поучением, как их нужно понимать и с пользой употреблять во всевозможных вычислениях". Таблицы содержали члены арифметической прогрессии с разностью 10 (логарифмы) и геометрической прогрессии с знаменателем 1,0001.

Способы вычислений, которые применяли первые изобретатели логарифмов, основаны на применении пропорций. С помощью последних, затрачивая громадный труд, они вычислили первые таблицы логарифмов. Впоследствии были найдены иные, более легкие способы вычислений, при помощи бесконечных рядов.

На русском языке таблицы логарифмов были изданы впервые в 1703 г. Составили их преподаватели Московской навигацкой школы Андрей Фархварсон, Стефан Гвин и Леонтий Магницкий. В свою "Универсальную арифметику" Леонард Эйлер включил главы, посвященные теории логарифмов.

В 1783 г. вышли из печати семизначные таблицы логарифмов, вычисленные австрийским математиком Георгом Вегой. Таблицы эти благодаря тщательности своего выполнения стали незаменимым пособием при вычислениях и переиздавались на многих языках (в том числе и на русском) свыше полутораста лет, причем выдержали несколько сот изданий.

Почти одновременно с логарифмами была изобретена и счетная линейка. В 1620 г. Эдмунд Понтер сконструировал шкалу, расстояния которой были пропорциональны логарифмам чисел. С помощью циркуля можно было складывать и вычитать числа этой шкалы, производя таким образом операции умножения и деления.

Около 1622 г. Вильям Аутред изобрел круглую счетную линейку, но описание ее опубликовал лишь в 1632 г., а двумя годами позже он изобрел прямую линейку. Около 1630 г. ученик Аутреда Ричард Деламейн предложил несколько иную конструкцию круглой линейки.

Так как изобретение подобного счетного прибора отвечало нуждам мореплавателей и других специалистов, то вскоре после первых изобретений было предложено много новых конструкций линеек, более или менее отличающихся друг от друга. К числу изобретателей вскоре присоединился и И. Ньютон, предложивший конструкцию линейки для решения уравнений.

Если в XVII в. основным типом линейки был круглый, то в XVIII в. преимущественное распространение начинает приобретать прямоугольная линейка. В 1787 г. Уильям Никольсон (1753-1815) предложил ряд усовершенствований, придавших линейке почти современный вид.

В середине XIX в. усовершенствованием логарифмической линейки занялся известный французский геометр и механик Амеде Маннгейм (1831-1906). Предложенная им линейка находится в применении до настоящего времени. Изменения в конструкции линейки после 1850 г. касаются лишь незначительных частностей.

41. Числовые последовательности

1. Определения. Числовой последовательностью называют функцию от натурального аргумента. Числа, входящие в состав числовой последовательности, называют ее членами (В математике различают последовательности и числовые последовательности. Членами последовательности могут быть любые предметы: линии, фигуры и т.д. Членами числовой последовательности являются только числа. Однако дальше мы будем рассматривать только числовые последовательности и для краткости их будем называть просто последовательностями).

Последовательность часто задают такой записью:

𝑖1, 𝑖2, ..., 𝑖𝑛, ...

𝑥𝑛 называют общим членом последовательности.

Последовательность 𝑖1, 𝑖2, ..., 𝑖𝑛, ... кратко обозначается знаком {𝑖𝑛}.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org