ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

11. Показательно-логарифмические уравнения. Так называют уравнения, в которых неизвестное входит и под знак логарифма и в показатель степени.

Обычно показательно-логарифмические уравнения решают логарифмированием обеих частей уравнения, после чего получают логарифмическое уравнение или преобразовывают уравнения так, чтобы получились степени с одинаковым основанием.

Рассмотрим несколько примеров таких уравнений.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Логарифмируя обе части уравнения, получаем:

(3 - lg 𝑖 + lg 3) lg 𝑖 = 2 lg 3 + 2,

lg² 𝑖 - (3 + lg 3) lg 𝑖 + 2 lg 3 + 2 = 0.

lg 𝑖₁ = 2, 𝑖₁ = 100; lg 𝑖 ₂ = lg 30, 𝑖 ₂ = 30.

Пример 2. Решить уравнение

Решение.

12. Системы показательных и логарифмических уравнений.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Потенцируя первое уравнение, получаем систему

решив которую, получим

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Считаем, что основания логарифмов 𝑎 и 𝑏 и неизвестные величины 𝑥 и 𝑦 положительны. Потенцируя, получаем

Эта система имеет два решения:

Но второе решение не годится, так как при положительных значениях 𝑎 и 𝑏, значения 𝑥 и 𝑦 отрицательные. Следовательно, данная система имеет единственное решение:

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Так как , то получаем . С другой стороны, . Таким образом, приходим к системе уравнений

решив которую, получим:

𝑥₁ = 16, 𝑦₁ = 25; 𝑥 ₂ = 25, 𝑦 ₂ = 16.

Пример 4. Решить систему уравнений

Решение. Так как 729 = 93 и 30 = 1, получим 9𝑖 + 𝑦 = 93 и 3𝑖 - 𝑦 -1 = 30, откуда имеем:

Эта система уравнений имеет решение: 𝑥 = 2, 𝑦 = 1, являющееся также решением данной системы.

Пример 5. Решить систему уравнений

Решение.

Тогда

Из уравнения 14𝑖 = 63𝑦 находим 𝑦 :

Пример 6. Решить систему уравнений

Решение. Полагая , первое уравнение будет 𝑧² - 𝑧 - 12 = 0. Тогда . Второе значение отбрасываем и получаем . С другой стороны, так как . Таким образом, приходим к системе уравнений

Эта система имеет решение 𝑥 = 17, 𝑦 = 9, которое будет также решением данной системы.

Пример 7. Решить систему уравнений

Решение. Со второго уравнения находим 𝑦 = 9. Тогда

log𝑖 (log2 log𝑖 9) = 0 и log2 log𝑖 9 = 1.

Отсюда log𝑖 9 = 2, 𝑥² = 9, 𝑖 = ±3. Отбрасывая 𝑥 = -3, получаем 𝑥 = 3.

Ответ. 𝑥 = 3, 𝑦 = 9.

38. Логарифмическая линейка

1. Назначение и описание логарифмической линейки. Логарифмическая линейка является одним из простейших счетных приборов. При помощи логарифмической линейки можно выполнять действия умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня и некоторые более сложные математические операции. Линейка дает приближенные результаты: она позволяет находить лишь первые три- четыре значащие цифры, которые вполне достаточны для расчетов, чаще всего встречающихся в практике (особенно при вычислениях с приближенными данными).

Логарифмическая линейка (рис. 63) состоит из:

1) корпуса с продольным пазом; 2) движка, свободно перемещающегося в продольном пазу корпуса линейки; 3) бегунка (или ползунка), представляющего собой металлическую рамку со стеклом, на котором имеется визирная линия, или индекс.

Рис. 63

На лицевой стороне корпуса имеется 7 шкал:

1) шкала (сверху), обозначенная буквой 𝐾, дает кубы чисел шкалы 𝑑; 2) 𝑎 и 𝐵 дают квадраты чисел шкал 𝑑 и 𝑐; 3) шкала обратных чисел; 4) шкалы, обозначенные буквами 𝑐 и 𝑑, - основные; 5) равномерная шкала (на нижнем краю корпуса), обозначенная буквой 𝑙 и поделенная на полумиллиметры, дает мантиссы логарифмов чисел шкалы 𝑑.

На обратной стороне движка имеется три шкалы для вычисления тригонометрических величин. На обратной стороне корпуса линейки помещены некоторые справочные сведения, а по боковым граням - деления на сантиметры и миллиметры.

2. Логарифмическая шкала. Рассмотрим основную шкалу логарифмической линейки.

Выпишем из таблицы логарифмов значения логарифмов первых десяти натуральных чисел, взяв их с точностью до 0,01. Тогда получим такую таблицу:

Число12345678910
Логарифм00,300,480,600,700,780,850,900,951

Отложим на отрезке (рис. 64) длины, соответствующие логарифмам, и концы полученных отрезков обозначим числами 1, 2, 3 и т.д. Начало данного отрезка lg 1 обозначим меткой 1, lg 2 - меткой 2 и т.д. (конец), lg 10 - меткой 10.

Рис. 64

Используя таблицу логарифмов, на этой же шкале можно нанести более мелкие деления, а именно: 1,1; 1,2; 1,3, ... Эта шкала в упрощенном виде представляет собой одну из основных шкал, нанесенных на логарифмической линейке.

Логарифмическую шкалу для значений от 10 до 100 (рис. 65) получим, если продлим шкалу за пределы первого участка (от 1 до 10) и повторим деления, нанесенные на первом отрезке, увеличив все числа меток в 10 раз. Точно так же можно продлить шкалу до 1000 и так далее, причем не только вправо, но и влево, так как логарифмическая шкала периодическая. Таким образом, имея логарифмическую шкалу длиной в одну масштабную единицу, можно получить бесконечную логарифмическую шкалу простым ее повторением.

Рис. 65

Обозначив масштабу или модуль шкалы, буквой 𝑚, найдем, что расстояние от начала логарифмической шкалы до метки а в миллиметрах равно 𝑚 lg 𝑎. Взяв модуль шкалы 250 мм (линейки такой длины очень распространены, их называют нормальными), получим логарифмическую шкалу для чисел от 1 до 10 шкалы 𝑎. Продолжив ее для чисел 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, получим логарифмическую шкалу 𝑎 нашей линейки. Пара тождественных логарифмических шкал 𝑎 и 𝐵 представляет собой математический прибор, который позволяет просто выполнять умножение и деление. Обычная счетная линейка отличается от него наличием других шкал, которые позволяют выполнять не только умножение и деление, но и многие другие операции. Свойством периодичности обладают и другие шкалы счетной линейки. На шкале 𝐾 имеем три (слева направо) подшкалы: метки первой идут от 1 до 10, второй от 10 до 100 и третьей от 100 до 1000.

3. Цена делений, чтение и установка меток. Чтобы пользоваться логарифмической линейкой для вычислений, надо прежде всего знать цену делений разных ее шкал, т.е. разности чисел, выражающих метки соседних штрихов шкал.

На шкалах 𝑐 и 𝑑 самое маленькое деление от 1 до 2 означает 0,01, от 2 до 4 - 0,02, от 4 до 10 - уже 0,05.

На шкалах 𝑎 и 𝐵 цена деления от 1 до 2 равна 0,02, от 2 до 5 - 0,05, от 5 до 10 - 0,1, от 10 до 20 - 0,2, от 20 до 50 - 0,5, от 50 до 100 - 1,

Шкала 𝐾 имеет деления от 1 до 2 ценой 0,02, от 2 до 5 - 0,05, от 5 до 10 - 0,1, от 10 до 20 - 0,2, от 20 до 50 - 0,5, от 50 до 100 - 1, от 100 до 200 - 2, от 200 до 500 - 5, от 500 до 1000 - 10.

Шкала 𝑙 - равномерная, цена ее деления 0,002, метки, обозначенные цифрами, читаются как десятые.

Каждая цифра на шкале обозначает не одно число, а все числа, которые можно получить умножением этого числа на какую-либо степень 10. Так метка, что обозначает число 1234, одновременно обозначает и числа: 123,4; 12,34; 0,1234. Поэтому числа на шкале устанавливают, не обращая внимания на запятую и нули в конце числа. Читают число, называя по порядку его цифры: 1-2-3-4.

Для того чтобы точно прочесть число, надо знать его место на шкале и его порядок. Для чисел, больших 1, порядок числа равен числу его цифр до запятой. Так, порядок числа 32,5 будет 2, порядок числа 1,12 равен 1. Для чисел, меньших 1, порядок числа есть число нулей после запятой до первой значащей цифры, это число берут со знаком минус. Так, порядок числа 0,038 равен (-1), порядок числа 0,358 равен 0, порядок числа 0,000017 равен (-4).

Для получения навыка чтения чисел на линейке надо выполнить такие упражнения.

Найти на шкале метку, соответствующую числам: три - четыре - один, два - нуль - два и т. д.

После того как приобретен навык правильного и быстрого чтения меток, обозначенных на шкалах линейки цифрами или штрихами без цифр, необходимо научиться читать и устанавливать метки, ничем на шкалах не обозначенные, т.е. выполнять "интерполяцию на глаз".

Так, например, пусть требуется прочитать метку, установленную индексом (рис. 66,а). Индекс здесь находится между метками 1,12 и 1,13 на шкале 𝑐; цена деления 0,01. Между меткой 1,12 и индексом чуть больший промежуток, чем между индексом и меткой 1,13. Оценивая их как 0,6 и 0,4 всего деления, видим, что к ближайшей левой метке надо прибавить еще 0,6 · 0,01 = 0,006. Таким образом, метка индекса здесь 1,12 + 0,006 = 1,126.

На рис. 66,б индекс находится между метками 6,55 и 6,60. Принимая промежуток между меткой 6,55 и индексом, равным 0,8 всего деления, цена которого 0,05, получаем метку индекса, равную 6,55 + 0,8 · 0,05 = 6,55 + 0,04 = 6,59.

Рис. 66

39. Вычисления на логарифмической линейке

1. Умножение. При умножении на логарифмической линейке иногда движок перемещают влево, а иногда - вправо.

Пример 1. Пусть надо умножить 3 на 2. Ставим индекс на цифру 3 шкалы 𝑑, под индекс ползунком подводим единицу - начало шкалы 𝑐; затем переводим индекс на цифру 2 шкалы 𝑐 и под ним на шкале 𝑑 читаем полученное произведение: 6.

Пример 2. Пусть надо умножить 9 на 5. Ставим индекс на цифру 9 шкалы 𝑑. Под индекс подводим начало шкалы 𝑐; так как цифра 5 шкалы 𝑐 выходит за пределы шкалы 𝑑, то под индекс подводим конец шкалы 𝑐; затем переводим индекс на цифру 5 шкалы 𝑐 и под ним на шкале 𝑑 читаем результат 45.

Для определения места запятой в результате пользуются разными способами.

Первый способ. Способ прикидки с помощью грубого округления.

Пример. При умножении 0,0267 · 32 на линейке читаем: 8-7-3. Грубый подсчет дает: 0,03 · 30 = 0,9. Поэтому ответ будет 0,873.

Второй способ. Порядок произведения равен сумме порядков сомножителей, если ползунок выдвинут влево, и на единицу меньший суммы порядков сомножителей, если ползунок выдвинут вправо.

Для лучшего запоминания этого правила используют запись на линейке справа 𝑝 - 1 (если ползунок выдвинут вправо, то 𝑝 = 𝑝₁ + 𝑝 ₂ - 1, где 𝑝 - порядок произведения, 𝑝₁ и 𝑝 ₂, соответственно, порядки сомножителей).

Пример 1. Умножить 4,3 · 3,4. На линейке читаем 1-4-6-2. Порядок первого сомножителя 1, порядок второго 1; ползунок выдвинут влево. Порядок произведения равен 1 + 1 = 2.

Ответ. 14,62.

Пример 2. Умножить 0,026 · 32. На шкале читаем 8-3-2; порядок первого сомножителя равен -1, порядок второго сомножителя 2. Ползунок выдвинут вправо. Порядок произведения равен: -1 + 2 - 1 = 0.

Ответ. 0,832.

Если надо перемножить 3; 4; 5 и т.д. чисел, сначала находят произведение первых двух, затем, не читая это произведение, умножают его на третье данное число, далее, не читая его, умножают на четвертое данное число и т.д. Эти операции продолжают, пока не исчерпают все сомножители. Положение запятой в результате дает прикидка.

Пример 3. Умножить 23,4 · 0,765 · 388. На шкале читаем 6-9-5; делаем прикидку 20 · 0,8 · 400 = 6400 и тогда окончательное произведение будет 6950.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org