ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Запишем уравнение так:

Отсюда

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение так:

Отсюда

Прологарифмировав, получим

Тогда

,

значит

.

г) Показательные уравнения вида

𝑓[φ(𝑖)] = 0,

где φ(𝑥) - некоторая показательная функция, a 𝑓 - элементарная алгебраическая функция. Полагая φ(𝑖) = 𝑢, получаем уравнение 𝑓(𝑢) = 0. Если 𝑡₁𝑡₂, ..., 𝑡𝑆 - действительные решения последнего, то решение уравнения 𝑓[φ(𝑖)] = 0 приводится к решению уравнений

φ(𝑥) = 𝑡𝑖 (𝑖 = 1, 2, ..., 𝑆).

Пример. Решить уравнение

Решение. Так как 3𝑖+3 = 3 · 3𝑖 и 3𝑖+3 = 3² · 3𝑖, то уравнение запишем так:

Умножив обе части уравнения на 3² · 3𝑖, получим:

35 · 32𝑖 - 3² · 3𝑖 - 2 = 0.

Полагая 3𝑖 = 𝑡, получаем квадратное уравнение 35 𝑡² - 3² 𝑡 - 2 = 0. Отсюда

Уравнение решений не имеет; уравнение имеет решение 𝑥 = -2. Следовательно, данное уравнение имеет решение 𝑥 = -2 (Еще лучше было бы заменить: 3𝑖 +2 = 𝑦 ).

2. Логарифмические уравнения. Логарифмическими уравнениями называют такие уравнения, в которых неизвестное входит под знак логарифма.

При решении логарифмических уравнений часто приходится логарифмировать и потенцировать обе части уравнения. То же бывает и при решении показательных уравнений. Указанные операции могут привести к уравнениям, не равносильным данным.

Так, если 𝑎 и 𝐵 являются выражениями, содержащими неизвестные, то следующие уравнения, вообще говоря, будут неравно сильны:

а) 𝑎 = 𝐵 и lg 𝑎 = lg 𝐵;

б) lg (𝑎𝑏) = lg 𝑐 и lg 𝑎 + lg 𝑏 = lg 𝑐;

в) и lg 𝑎 - lg 𝐵 = lg 𝑐;

г) lg 𝑎𝑛 = 𝑐 и lg 𝑎 = 𝑐.

Для логарифмических уравнений, так же как и для показательных, общего метода решения нет. Однако среди логарифмических уравнений можно выделить несколько групп уравнений, решаемых элементарными методами. Приступая к решению уравнения, необходимо установить область допустимых значений для неизвестного.

Простейшими логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

log𝑎 𝑥 = 𝑏,

где 𝑎 - отличное от 1 положительное число. При всяком действительном 𝑏 уравнение имеет единственное решение: 𝑥 = 𝑎𝑏.

Пример. Решить уравнение lg 𝑥 = 2 - lg 5.

Решение. 𝑥 > 0,

а) Логарифмическое уравнение вида

log𝑎 𝑓(𝑖) = 𝑏,

где 𝑎 - отличное от 1 положительное число, а 𝑓 (𝑖) - элементарная алгебраическая функция.

Введением неизвестного 𝑡 = 𝑓(𝑖) уравнение приводится к простейшему логарифмическому уравнению log𝑎 𝑡 = 𝑏.

Пример 1. Решить уравнение log₃ (𝑖² - 7𝑥 + 21) = 2.

Решение. Область допустимых значений для 𝑥 - вся числовая ось, так как 𝑥² - 7𝑥 + 21 > 0 при любом 𝑥 (дискриминант 𝑑 < 0). По определению логарифма

𝑥² - 7𝑥 + 21 = 3², 𝑥₁ = 3, 𝑥₂ = 4.

Пример 2. Решить уравнение log𝑖-1 (𝑥² - 5𝑖 + 2,25) = 2.

Решение. Область допустимых значений неизвестного определяется из условий:

𝑥 - 1 > 0, 𝑥 - 1 ≠ 1;

𝑥² - 5𝑥 + 2,25 > 0.

Следовательно, 𝑥 > 4,5.

Решение данного уравнения приводится к решению уравнения

𝑥² - 5𝑥 + 2,25 = (𝑥 - 1)²,

или

-3𝑥 = -1,25, .

не входит в область допустимых значений.

Уравнение не имеет действительных корней.

б) Логарифмическое уравнение вида

log𝑎 𝑓(𝑖) = log𝑎 φ(𝑖),

где 𝑎 - отличное от 1 положительное число, 𝑓 (𝑖) и φ(𝑥) - элементарные алгебраические функции. Данное уравнение приводится к решению уравнения 𝑓(𝑖) = φ(𝑖). Поэтому для решения уравнения log𝑎 𝑓(𝑥) = log𝑎 φ(𝑥) достаточно найти все решения уравнения 𝑓(𝑖) = φ(𝑥) и среди них выбрать те, которые относятся к области допустимых значений уравнения log𝑎 𝑓(𝑥) = log𝑎 φ(𝑖). Если же уравнение 𝑓(𝑖) = φ(𝑥) решений не имеет, то их не имеет и уравнение

log𝑎 𝑓(𝑖) = log𝑎 φ(𝑖)

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Область допустимых значений 𝑥 > 0.

тогда

Решая уравнение , получаем 𝑖₁ = 𝑥₂ = 𝑖₃ = 0, . К области допустимых значении уравнения относится только 𝑥₅. Следовательно, данное уравнение имеет одно решение .

Пример 2. Решить уравнение lg (2𝑥) = 2 lg (4𝑖 - 15). Решение. Для lg (2𝑖) область допустимых значений неизвестного 𝑥 > 0; для lg (4𝑥 - 15) имеем 4𝑥 - 15 > 0, или . Следовательно, область допустимых значений неизвестного уравнения будет . Преобразуем данное уравнение:

lg (2𝑥) = lg (4𝑖 - 15)²; 2𝑥 = (4𝑖 - 15)², 16𝑖² - 122𝑖 + 225 = 0.

Значит, . Так как 𝑥₂ не принадлежит области допустимых значений уравнения, а 𝑥₁ удовлетворяет уравнению, то уравнение имеет единственный корень:

в) Логарифмические уравнения вида

log𝑎 𝑓₁(𝑖) + log𝑎 𝑓₂(𝑖) + ... + log𝑎 𝑓𝑆(𝑖) = log𝑎 φ₁(𝑖) + log𝑎φ₂(𝑖) + ... + log𝑎φ𝑚(𝑖),

где 𝑎 - отличное от 1 положительное число, а 𝑓𝑖(𝑖) (𝑖 = 1, 2, ..., 𝑆),

φ𝑗(𝑖) (𝑗 = 1, 2, ..., 𝑚) - алгебраические функции; при этом некоторые из них могут быть постоянными числами.

Уравнения такого вида приводятся к уравнению вида

𝑓₁(𝑖)𝑓₂(𝑖) ... 𝑓𝑆(𝑖) = φ₁(𝑖)φ₂(𝑖) ... φ𝑚(𝑖)

Пример 1. Решить уравнение

lg (3𝑖 - 11) + lg(𝑖 - 27) = 3.

Решение. Найдем сначала область допустимых значений для 𝑥:

Общая область допустимых значений будет 𝑥 > 27.

Заменив 3 = lg 1000, уравнение перепишем так: lg[(3𝑖 - 11)(𝑖 - 27)] = lg 1000, отсюда (3𝑖 - 11)(𝑖 - 27) = 1000, или 3𝑖² - 92𝑖 - 703 = 0, 𝑥₁ = 37, . Так как не принадлежит области допустимых значений, то уравнение имеет единственный корень 𝑥 = 37.

Пример 2. Решить уравнение

lg (2𝑖) + lg (𝑖 + 3) = lg 2 + lg (6𝑖 - 2).

Решение. Область допустимых значений для

lg (2𝑖) : 2𝑖 > 0, 𝑥 > 0;

lg (𝑥 + 3) : 𝑖 + 3 > 0, 𝑖 > -3;

lg (6𝑖 - 2) : 6𝑖 - 2 > 0, .

Общая область допустимых значений будет .

Уравнение принимает вид 𝑥(𝑥 + 3) = 6𝑖 - 2, или 𝑥² - 3𝑥 + 2 = 0, отсюда 𝑥₁ = 2, 𝑥₂ = 1. Оба эти значения принадлежат области определения и оба они являются решениями данного уравнения.

г) Логарифмические уравнения вида

где 𝑔(𝑖) - логарифмическая функция, a 𝑓 - элементарная алгебраическая. Для решения уравнения вводят переменную 𝑡 = 𝑔(𝑖). Тогда данное уравнение приводится к уравнению 𝑓(𝑡) = 0.

Пример 1. Решить уравнение (lg 𝑖 - 5) lg 𝑖³ + 18 = 0.

Решение. Область допустимых значений 𝑖 > 0. Так как lg 𝑖³ = 3lg 𝑖, то данное уравнение равносильно уравнению (lg 𝑥 - 5) 3lg 𝑖 + 18 = 0.

Полагая lg 𝑖 = 𝑡, получим:

3𝑡 (𝑡 - 5) + 18 = 0, 𝑡² - 5𝑡 + 6 = 0, 𝑡₁ = 2, 𝑡₂ = 3.

Решив уравнения lg 𝑖 = 2 и lg 𝑖 = 3, получим решения данного уравнения 𝑥₁ = 100 и 𝑥₂ = 1000.

Пример 2. Решить уравнение

(log₂ 𝑖)² - log₂ 𝑖 - 2 = 0.

Решение. Область допустимых значений 𝑖 > 0. Положим log₂ 𝑥 = 𝑧, откуда

𝑧² - 𝑧 - 2 = 0, 𝑧₁ = +2, 𝑧 ₂ = -1,

следовательно,

log₂ 𝑥 = 2, 𝑥₁ = 4; log₂ 𝑖 = - 1, .

Пример 3. Решить уравнение log5 log4 log3 𝑖 = 0.

Решение. Перепишем уравнение так:

log5(log4 log3𝑖) = 0.

Тогда число, стоящее в скобках, по определению логарифма, равно 5°, т.е. 1:

log4 log3 = 1.

Записывая это уравнение так: log4(log3 𝑖) = 1, получаем log3 𝑥 = 4, откуда 𝑥 - 3⁴ = 81.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org