ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

3. Таблицы десятичных логарифмов. Существуют таблицы, в которых даются десятичные логарифмы всех чисел с точностью до трех, четырех, пяти и т.д. десятичных знаков. Соответственно этому их называют трехзначными, четырехзначными, пятизначными и т.д. Чаще всего пользуются четырехзначными таблицами десятичных логарифмов. Эти таблицы содержат мантиссы логарифмов всех целых чисел от 1 до 9999 включительно, вычисленные с четырьмя десятичными знаками.

Этими таблицами пользуются так.

Пример 1. Найдем десятичный логарифм трехзначного числа 73,3. Его характеристика 1, так как в числе 73 две цифры. Чтобы найти мантиссу, отбрасываем запятую и ищем мантиссу числа 733. В столбце, обозначенном буквой 𝑛, находим число 73. Двигаясь по строке, в которой находится число 73, до пересечения ее со столбцом, обозначенным цифрой 3, находим 8651. Число 0,8651 и будет искомой мантиссой. Итак,

lg 73,3 = 1,8651.

Пример 2. Найти логарифм числа 5. Его характеристика 0, так как число содержит одну цифру. Приписывая к 5 два нуля, получаем трехзначное число 500 и ищем, так же как и выше, его мантиссу 6990. Итак, lg 5 = 0,6990.

Пример 3. Найти логарифм числа 5,1.

Его характеристика 0, так как в целой части одна цифра. Отбрасываем запятую и приписываем нуль, получаем 510 и ищем мантиссу: 7076. Итак, lg 5,1 =0,7076.

Пример 4. Найти логарифм числа 672,3. Характеристика его равна 2. Чтобы найти мантиссу, не принимаем во внимание запятую, отбрасываем крайнюю правую цифру 3 и ищем мантиссу логарифма числа 672. Она равна 0,8274. Затем находим в столбцах поправок (крайние правые столбцы с цифрами 1-9) в столбце, обозначенном цифрой 3, и в той же строке, что и число 67, поправку 2. Поэтому мантисса данного числа получится как сумма 0,8274 + 0,0002 = 0,8276.

Записывают это так:

Пример 5. Найти логарифм числа 0,0057842. Характеристика его равна . Отбрасываем цифру 2 (причем последнюю цифру числа увеличиваем на 1 в том случае, когда отбрасываемая пятая цифра есть 5 или больше 5) и вместо 57842 берем 5784. Для логарифма округленного четырехзначного числа находим мантиссу так, как было объяснено. Получаем

4. Интерполирование. Поправку на четвертую цифру можно найти, не пользуясь столбцами поправок, так как в некоторых таблицах они вообще не даются. В этом случае поправки находят с помощью простых вычислений, основанных на следующем положении: если числа превосходят 100, а разности между ними меньше 1, то принимают, что разности между логарифмами пропорциональны разности между соответствующими числами. Для этого поступают так.

Если число, мантиссу логарифма которого нужно найти, есть 6723, то сначала находим мантиссу числа 672 (она равна 0,8274), а затем мантиссу числа 673 (она равна 0,8280), после этого находим разность мантисс (она равна 6 десятитысячным), тогда, на основании указанного положения, находим поправку с помощью пропорции: (десятитысячным).

Этот способ нахождения промежуточного значения логарифма по двум рядом стоящим в таблице его значениям называется интерполяцией, или интерполированием.

5. Отыскание числа по логарифму. Для отыскания числа по данному логарифму можно пользоваться теми же таблицами, что и для отыскания логарифма по числу.

Пример 1. Найти число, логарифм которого равен 3,4683. Обращаемся к таблицам 8, и в одном из столбцов под номерами 0-9 ищем число, первые две цифры которого составляют 46, а две последние 83 (или близкое к 83 число), находим в строке 29, в столбце 4. Значит, число, имеющее мантиссой 4683, есть 294. Так как характеристика 3 положительна, то в целой части числа выделяем 3 + 1 = 4 цифры. Для этого в конце числа 294 приписываем нуль. Имеем 3,4683 = lg 2940.

Пример 2. Найти число 𝑥, логарифм которого равен .

Так как среди мантисс нет числа 3916, то находим ближайшее к нему число 3909, стоящее на пересечении строки 24 и столбца 6. Этой мантиссе соответствует число 246; оно дает первые три значащие цифры искомого числа. Четвертую цифру находим, вычисляя поправку. Данная мантисса 3916 превосходит табличную 3909 на 7. Ищем эту цифру на той же строке 24 среди «поправок». Она стоит в столбце 4. Цифра 4 есть четвертая значащая цифра искомого числа; число, имеющее мантиссой 3916, есть 2464. Так как характеристика отрицательна и содержит три единицы, то перед найденным числом ставим три нуля и стоящий слева нуль отделяем запятой. Имеем: .

𝑥 = 0,002464.

Примечание. Следует твердо помнить, что при отыскании числа по логарифму поправку этого числа приписывают к нему, а не прибавляют к его последней цифре.

Величину поправки нужно разыскивать в той же строке, где содержится число, близкое к мантиссе. Если в этой строке нет той поправки мантиссы, которая нужна, берем ближайшую поправку.

Однако отыскивать числа по известным десятичным логарифмам лучше в таблице антилогарифмов. Это та же таблица логарифмов, но с иным расположением материала, облегчающим разыскание числа по данному логарифму.

Пример 3. Найти число, логарифм которого равен 2,732. Отбрасываем характеристику и берем первые две цифры мантиссы (73). В строке 73 отыскиваем число, стоящее в столбце 2. Находим 5395. Так как характеристика логарифма равна 2, то искомое число 539,5.

Пример 4. Найти число, логарифм которого равен 1,3846. Отбрасываем характеристику и берем первые две цифры мантиссы (38). В строке 38 двигаемся до пересечения ее со столбцом, обозначенным цифрой 4 (третья цифра мантиссы), находим число 2421 и, двигаясь далее по этой строке до пересечения ее со столбцом поправок, обозначенным цифрой 6 (четвертая цифра мантиссы), находим число 3. Два найденных числа складываем: 2421 + 3 = 2424. Так как характеристика логарифма равна 1, то искомое число 24,24.

Запись:

6. Действия над логарифмами с отрицательными характеристиками

а) Сложение. При сложении логарифмов с отрицательными характеристиками сначала складывают их мантиссы, а затем характеристики.

Примеры.

а) б)

б) Вычитание. При вычитании логарифмов с отрицательными характеристиками вычитают сначала мантиссу, а затем характеристику.

Примеры.

а) б) в)

в) Умножение. Чтобы умножить логарифм с отрицательной характеристикой на положительное число, надо отдельно умножить на это число характеристику и отдельно положительную мантиссу.

Примеры.

a) б)

г) Деление. При делении рассматривают два случая.

Если характеристика кратна делителю, то надо отдельно делить характеристику и отдельно мантиссу.

Примеры. а) ; б) . Если характеристика не кратна делителю, то до характеристики прибавляют столько единиц, чтоб получить отрицательное число, кратное делителю, а к положительной мантиссе прибавляют столько же положительных единиц; после этого делят отрицательную характеристику и положительную мантиссу отдельно.

Пример.

7. Логарифмические вычисления.

Пример 1. Вычислить

Решение.

Пример 2. Вычислить

Решение.

Пример 3. Вычислить с помощью логарифмических таблиц

Решение. Непосредственным логарифмированием нельзя вычислить 𝑥, так как выражение под радикалом есть разность двух чисел

Поэтому сначала определим разность, для чего вычислим отдельно уменьшаемое и вычитаемое. Пусть 15,07² = 𝑦,

1) lg 𝑦 = 2lg 15,07 = 2 · 1,1781 = 2,3562; 𝑦 = 227,1.

2)

3) 𝑦 - 𝑧 - 227,1 - 59,55 = 167,55.

4)

Ответ. 𝑖 = 45,63

37. Показательные и логарифмические уравнения

1. Показательные уравнения. Показательными уравнениями называют такие уравнения, в которых неизвестное входит в показатель степени. Общего метода решения показательных уравнений нет. Однако можно указать несколько групп уравнений, которые могут быть решены методами элементарной математики.

Решение показательных уравнений основано на следующих теоремах.

1) Если основания двух степеней равны и степени равны, причем основания 𝑎 > 0 и 𝑎 ≠ 1, то показатели степеней также равны, т.е. если 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛, то 𝑚 = 𝑛.

2. Если у равных степеней равны и отличны от нуля показатели степени, то равны и основания степеней, т.е. если 𝑎𝑚 = 𝑏𝑚, 𝑚 ≠ 0, то 𝑎 = 𝑏 (имеются в виду положительные 𝑎 и 𝑏).

Теперь рассмотрим основные типы показательных уравнений.

а) Простейшие показательные уравнения. Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида 𝑎𝑖 = 𝑏, где 𝑎 - отличное от 1 положительное число. При 𝑏 < 0 уравнение решений не имеет, так как при действительных значениях 𝑥 степень 𝑎𝑖 не может быть отрицательным числом или быть равным нулю. При 𝑏 > 0 это уравнение имеет единственное решение.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Первый способ:

Второй способ:

б) Показательные уравнения вида

𝑎φ(𝑖) = 𝑏,

где 𝑎 - отличное от 1 положительное число, а φ(𝑥) - элементарная алгебраическая функция.

Введением нового неизвестного 𝑢 = φ(𝑖) это уравнение приводится к простейшему показательному уравнению 𝑎𝑢 = 𝑏.

Пример. Решить уравнение

Решение. Первый способ:

Откуда

𝑖² - 6𝑖 - 2,5 = 4,5, или 𝑥² - 6𝑥 - 7 = 0.

Тогда

𝑖₁ = 7, 𝑖 ₂ = -1.

Второй способ.

.

Отсюда

𝑥² - 6𝑖 - 2,5 = 4,5, или 𝑥² - 6𝑥 -7 = 0

и т.д.

в) Показательные уравнения вида

𝑎𝑓 (𝑖) = 𝑏φ(𝑖)

где 𝑎 и 𝑏 - отличные от 1 положительные числа, a 𝑓(𝑖) и φ(𝑥) - элементарные алгебраические функции.

Это уравнение приводится к равносильному уравнению

𝑓(𝑖) log𝑐 𝑎 = φ(𝑥) log𝑐 𝑏.

Если 𝑎 и 𝑏 - степени какого-нибудь числа 𝑐, т.е. 𝑎 = 𝑐𝑝, 𝑏 = 𝑐𝑞, то уравнение можно записать так:

𝑐𝑝𝑓(𝑥) = 𝑐𝑞φ(𝑖)

и его решение приводится к решению равносильного ему уравнения:

𝑝𝑓(𝑖) = 𝑞φ(𝑥).

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org