ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

2. Функциональная зависимость. Часто бывает так, что одна пе ременная величина зависит от другой: каждое изменение значений одной величины влечет за собой соответствующие изменения значений другой. Если две переменные величины связаны между собой так, что каждому значению одной из них соответствует определенное значение другой, то говорят, что между этими переменными существует функциональная зависимость.

Примеры функциональной зависимости.

Радиус окружности и ее длина, вес покупки и ее стоимость, вес тела и его расстояние от центра Земли и др.

Прямо пропорциональная и обратно пропорциональная зависимости величин являются отдельными видами функциональной зависимости.

3. Аргумент и функция. Если две переменные величины находятся в функциональной зависимости, то та из них, которая может принимать произвольные допустимые значения, называется независимой переменной, или аргументом. Другая величина, значения которой зависят от значений аргумента, называется зависимой переменной, или функцией.

Пример. Известно, что чем выше температура, тем больше становится длина стального рельса, т.е. длина рельса зависит от температуры. В данном случае температура - аргумент, а длина рельса - функция.

Еще примеры.

Площадь квадрата есть функция длины его стороны, путь, пройденный поездом,- функция времени, урожайность - функция количества удобрений, значения трехчлена 𝑥² + 5𝑖 + 6 - функция значений 𝑥.

Если величина 𝑦 есть функция величины 𝑥, пишут: 𝑦 = 𝑓 (𝑥) и читают: "𝑦 равно эф от 𝑥". Для обозначения функциональной зависимости употребляют и другие буквы. Например, если 𝑣 есть функция 𝑡, можно записать и так: 𝑣 = φ(𝑡) ("𝑣 равно фи от 𝑡").

4. Способы задания функции. Функцию можно задать формулой, показывающей, как по данному значению аргумента можно вычислить соответствующее значение функции. Такой способ задания функции называют аналитическим.

Пример. Зависимость объема куба о от длины его ребра а можно выразить формулой 𝑣 = 𝑎³. Эта формула показывает, как для каждого значения 𝑎 можно вычислить соответствующее значение 𝑣. Например, если 𝑎 = 4, то 𝑣 = 64 и т.д.

В зависимости от того, какой формулой выражается та или иная функция, рассматривают различные виды функций. В элементарной математике рассматриваются такие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование, вычисление синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов, секансов, косекансов, арксинусов, арккосинусов, арктангенсов, арккотангенсов, арксекансов и арккосекансов. Эти действия называют элементарными действиями. Действия сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с рациональным показателем, извлечение корня называют также алгебраическими действиями. Остальные элементарные действия называют элементарными трансцендентными. Если функцию можно задать формулой, содержащей только алгебраические действия, ее называют алгебраической функцией. Если функцию можно задать формулой, содержащей элементарные действия, в состав которых входят и элементарные трансцендентные действия, то ее называют элементарной трансцендентной функцией.

Функцию можно задать также табличным способом, т.е. указать значение аргумента и для каждого из них дать соответствующие значения функции. Например, таблицы квадратов, кубов, квадратных корней и другие есть не что иное как табличные задания функций.

Очень распространен также графический способ задания функций (Существуют и другие способы задания функций; описательный, с помощью функциональной шкалы и т.п.). Обычно для этого используют прямоугольную систему координат.

5. Координаты. Совокупность двух взаимно перпендикулярных числовых осей с общей начальной точкой О называют прямоугольной системой координат (рис. 31). Одну из этих осей, обычно горизонтальную, называют осью абсцисс, или осью иксов, или осью 𝑜𝑥, вторую, вертикальную, называют осью ординат, или осью игреков, или осью 𝑂𝑌. Плоскость, в которой задана система координат, называют координатной плоскостью, а точку 𝑂 пересечения осей - началом координат.

Рис. 31

На координатной плоскости положение любой точки можно определить с помощью двух чисел. Пусть, например, надо определить положение точки 𝑀 (рис. 32). Для этого опускаем из. нее перпендикуляры на оси 𝑜𝑥 и 𝑂𝑌. Если основаниям этих перпендикуляров соответствуют числа 3 и 2, то эта пара чисел и определяет положение точки 𝑀.

Рис. 32

Числа, определяющие положение точки на координатной плоскости, называются координатами. Координату, которую берут по оси абсцисс, называют абсциссой, которую берут по оси ординат - ординатой. Если точка 𝑛 имеет абсциссу 𝑎 и ординату 𝑏, пишут: 𝑛 (𝑎, 𝑏) (первой всегда пишут абсциссу).

Обозначенные на рис. 32 точки имеют следующие координаты:

6. Графическое изображение функции. Пусть имеем какую-нибудь функцию 𝑦 = 𝑓 (𝑖). Отметим каждое значение ее аргумента на оси абсцисс, а соответствующее ему значение функции - длиной перпендикуляра, проведенного к оси абсцисс из этой точки. Тогда при всевозможных изменениях аргумента концы перпендикуляров образуют некоторое множество точек, которое называется графиком данной функции. Чаще всего графиком функции является некоторая линия. Однако он может состоять из отдельных точек, отрезков, дуг и т.д.

Если функция задана графиком, то можно легко определить для каждого (допустимого) значения аргумента соответствующее значение функции. Для этого достаточно восстановить в соответствующей точке оси абсцисс перпендикуляр к ней и продолжить его до пересечения с графиком. Ордината точки пересечения и дает соответствующее значение функции.

Простейший способ построения графика функции - "по точкам". Рассмотрим его на примере. Пусть надо построить график функции 𝑦 = 𝑥² - 2. Для этого вычисляем значения функции для нескольких значений аргумента, например для -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Результаты удобно записывать в виде таблицы:

𝑖 -3 -2 -1 0 1 2 3

𝑦 7 2 -1 -2 -1 2 7

Каждую пару полученных значений 𝑥 и 𝑦 принимаем за координаты и строим по ним на координатной плоскости точки. Затем через эти точки (от руки или при помощи лекала) проводим плавную линию. Это и будет график данной функции 𝑦 = 𝑥² - 2 (рис. 33) (Однако в большинстве случаев удобнее строить графики функций, используя их свойства)

Для построения графиков удобно пользоваться миллиметровой бумагой.

Рис. 33

7. Возрастающие и убывающие функции. Функция называется возрастающей, если для двух произвольных значений аргумента большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Иначе: если при 𝑥₁ < 𝑥₂, где 𝑥₁ и 𝑥₂ - произвольные значения аргумента, 𝑓(𝑥₁) < 𝑓(𝑥₂), то функция 𝑓(𝑥) называется возрастающей. Если при 𝑥₁ < 𝑥 ₂, где 𝑥₁ и 𝑥₂ - произвольные значения аргумента 𝑓(𝑥₁) > 𝑓(𝑥₂), то функция 𝑓(𝑥) называется убывающей. Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

Если указанным свойством функция обладает только на некоторых промежутках области ее определения, то ее называют соответственно возрастающей или убывающей на этих промежутках.

Примеры. Функция 𝑦 = 𝑖³ + 5 возрастающая; функция 𝑦 = 𝑥² возрастающая при 𝑥 > 0 и убывающая при 𝑥 < 0.

8. Ограниченные и неограниченные функции. Функция называется ограниченней, если абсолютное значение ее при любых значениях аргумента не превосходит какого-либо положительного числа 𝑎. Иначе: функция 𝑦 = 𝑓 (𝑥) называется ограниченной, если существует такое положительное 𝑎, что при всех 𝑥

|𝑓 (𝑖)| ≤ 𝑎.

График ограниченной функции лежит целиком в полосе между прямыми, параллельными оси 𝑜𝑥, проведенными на расстояниях 𝑎 от нее.

Пример. Функция ограниченная, так как 0< 𝑦 ≤ 1 при всех 𝑥.

Если не существует такого положительного числа 𝑎, что при всех значениях 𝑥 |𝑓 (𝑥)| ≤ 𝑎, то функция 𝑓 (𝑥) называется неограниченной.

Пример. Функция 𝑦 = 𝑥³ неограниченная.

9. Четные и нечетные функции. Функция называется четной, если любым противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. Иначе: если для любых 𝑖𝑓(-𝑥) = 𝑓(𝑥), то функция 𝑓(𝑖) называется четной.

Пример. Функция 𝑦 = 𝑥² - четная, так как при любых 𝑖

(- 𝑥)² = 𝑖².

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Если любым противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции, то такая функция называется нечетной. Иначе: функция 𝑓(𝑥) называется нечетной, если при любых значениях 𝑥𝑓(-𝑥) = -𝑓(𝑥).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример. Функция 𝑦 = 𝑥³ - нечетная, так как (-𝑥)³ = -𝑥³.

Существуют функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такими, например, есть функции и др.

10. Прямая и обратная функции. Пусть дана функция 𝑦 = 3𝑥 - 2. Если выразить 𝑥 через 𝑦 и в полученном равенстве вместо 𝑥 написать 𝑦, а вместо 𝑦 написать 𝑥, будем иметь . Это есть функция, обратная данной. Данную функцию также можно назвать обратной по отношению к полученной. Эти функции взаимно обратны друг другу.

Графики двух взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, т.е. относительно прямой 𝑦 = 𝑥 (рис. 34).

Рис. 34

32. Простейшие функции и их графики

1. Прямая пропорциональность. Зависимость между величинами 𝑥 и 𝑦, которую можно выразить формулой

𝑦 = 𝑎𝑥,

где 𝑎 - некоторое данное число, называется прямо пропорциональной зависимостью.

Примечание. В арифметике рассматривают только такие примеры прямо пропорциональной зависимости, в которых 𝑎 (коэффициент пропорциональности, 𝑥 и 𝑦 - числа положительные. В алгебре рассматривают и такие зависимости, в которых эти числа могут быть и отрицательными и равными нулю. Поэтому то определение прямо пропорциональной зависимости, которое дано выше, для алгебры не подходит.

Графиком прямо пропорциональной зависимости есть прямая, проходящая через начало координат. График зависимости 𝑦 = 𝑎𝑥 проходит в первом и третьем координатных углах, если 𝑎 > 0 (рис. 35) или во втором и четвертом координатных углах, если 𝑎 < 0 (рис. 36).

Рис. 35

Рис. 36

2. Линейная функция. Линейной функцией называют функцию, которую можно выразить формулой

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, где 𝑥 - аргумент, а 𝑎 и 𝑏 - заданные числа.

Линейная функция возрастает при 𝑎 > 0 и убывает при 𝑎 < 0. График линейной функции есть прямая линия, проходящая через точку 𝑀 (𝑂, 𝑏) параллельно графику функции 𝑦 = 𝑎𝑥 (рис. 37). Если 𝑎 = 0, график линейной функции есть прямая, параллельная оси абсцисс, которая проходит через точку 𝑏 на оси ординат (рис. 38).

Рис. 37

Рис. 38

Прямо пропорциональная зависимость есть частный случай линейной функции (при 𝑏 = 0).

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2021 контакт: koshka@cartalana.org