ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

2. Неравенства высших степеней. Пусть дано неравенство, левая часть которого какой-нибудь многочлен, содержащий одну букву - неизвестное, а правая - нуль. В общем случае такие неравенства решать трудно. Однако, если известно разложение многочлена на множители, такие неравенства можно решать элементарными способами.

Пример. Решить неравенство

𝑥⁴ -3𝑥³ - 𝑥 + 3< 0.

Решение. Разлагая на множители левую часть, перепишем неравенство в виде

(𝑥 -1)(𝑥 - 3)(𝑥² + 𝑖 + 1)< 0.

Трехчлен 𝑥² + 𝑥 + 1 имеет отрицательный дискриминант и его значения при всех действительных значениях х положительны, следовательно, не влияют на знак. Поэтому достаточно решить квадратное неравенство

(𝑥 - 1)(𝑥 - 3) < 0,

или

𝑥² - 4𝑥 + 3 < 0,

из которого находим 1 < 𝑥 < 3.

Пример. Решить неравенство

(𝑥 + 6)(𝑥 - 1)(𝑥 + 1)𝑥 < 0.

Решение. Многочлен в левой части этого неравенства имеет следующие корни: -6, -1, 0, и 1. Его корни делят числовую ось на 5 интервалов. В этих интервалах каждый из сомножителей знакопостоянный. Знак многочлена в каждом интервале определяется по числу отрицательных сомножителей.

МножительИнтервал
(-∞; -6)(-6; -1)(-1; 0)(0; 1)(1; ∞)
𝑖 + 6-++++
𝑖 - 1----+
𝑖 + 1--+++
𝑖---++
𝑝 (𝑖)+-+-+

Как видно из таблицы, выражение, стоящее в левой части неравенства, отрицательно при -6 < 𝑥 < - 1 и 0 < 𝑖 < 1.

Ответ. – 6 < 𝑖 < - 1 и 0 < 𝑖 < 1.

Примечание. Еще проще такие неравенства можно решать с помощью геометрической иллюстрации. Так как многочлен (𝑖 + 6)(𝑥 - 1)(𝑖 + 1)𝑥 не имеет кратных корней, то кривая - его график - нигде не касается оси ох, а только пересекает ее в точках, соответствующих корням многочлена. Поэтому достаточно определить знак данного многочлена в каком-нибудь одном интервале, на которые делят числовую ось корни многочлена, чтобы узнать, в каких интервалах график данного многочлена расположен ниже оси 𝑜𝑥, а в каких - выше, т.е. при каких значениях 𝑥 данный многочлен отрицательный, а при каких положительный.

3. Дробные неравенства. Так как частное и произведение 𝐴𝐵 - числа одного и того же знака, то неравенство , где 𝑎 и 𝐵 - какие-нибудь многочлены, равносильно неравенству 𝑎 · 𝐵 > 0. Поэтому дробное неравенство всегда можно заменить равносильным ему целым алгебраическим неравенством.

Пример. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно такому:

(𝑥 + 3)(𝑥 - 2)(𝑥 - 5)< 0.

Корни многочлена (𝑥 + 3)(𝑥 - 2)(𝑥 - 5) равны: -3, 2 и 5. Составляем таблицу

МножительИнтервал
(-∞, -3)(-3, 2)(2, 5)(5, ∞)
𝑖 + 3-+++
𝑖 - 2--++
𝑖 - 5---+
𝑝(𝑖)-+-+

Как видим, данный многочлен принимает отрицательные значения при -∞ < 𝑥 < - 3 и 2 < 𝑖 < 5 (рис. 30).

Ответ. 𝑖 < -3 и 2 < 𝑖 < 5.

Рис. 30

4. Иррациональные неравенства. Приступая к решению иррациональных неравенств, прежде всего необходимо установить область допустимых значений неизвестного. При этом рассматриваются только арифметические корни. Общий метод решения этих неравенств состоит в постепенном уединении радикалов и в возвышении в степень, равную показателю корня. Так можно освободиться от иррациональности. Необходимо помнить, что при возвышении в степень может получиться, что область значений неизвестного исходного неравенства будет только частью области значений неизвестного полученного неравенства. Поэтому необходимо всегда проводить проверку решения.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Найдем область допустимых значений для 𝑥 :

(𝑥 + 2)(𝑥 - 5) ≥ 0 и 8 - 𝑥 ≥ 0, откуда получаем, что область допустимых значений будет

-∞ < 𝑥 ≥ -2; 5 ≥ 𝑥 ≥ 8.

В данной области обе части неравенства неотрицательны, возводя их в квадрат, получим неравенство

(𝑥 + 2)(𝑥 - 5) < (8 - 𝑖)²,

или

𝑖² - 3𝑖 - 10 < 64 - 16𝑖 + 𝑖²,

откуда

Решением первоначального неравенства будет пересечение областей -∞ < 𝑖 ≥ - 2, 5 ≥ 𝑖 ≥ 8 и .

Ответ. .

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Определяем область существования каждого радикала:

9 - 𝑥² ≥ 0, 𝑖² ≤ 9, - 3 ≤ 𝑖 ≤ + 3;

6𝑥 - 𝑥² ≥ 0, 𝑖 (6 - 𝑥) ≥ 0, 0 ≤ 𝑥 ≤ 6.

Следовательно, область существования обоих радикалов будет

0 ≤ 𝑖 ≤ 3.

Далее решаем неравенство

или

или

6𝑖 - 2𝑖² > 0, 𝑖 (3 - 𝑖) > 0,

откуда 1) 𝑖 > 0 и 3 - 𝑖 > 0, значит, 0 < 𝑖 < 3; 2) 𝑖 < 0, 3 - 𝑖 < 0 не имеет решения.

Ответ. 0< 𝑖 < 3.

30. Тождественные неравенства

1. Определения. Всякое верное числовое неравенство, а также всякое буквенное неравенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него букв, называется тождественным неравенством.

Примеры тождественных неравенств:

2. Некоторые замечательные неравенства

1) ,

т.е. модуль суммы любых чисел не больше суммы их модулей.

2) Если 𝑎₁, 𝑎 ₂, ..., 𝑎𝑛 - числа положительные, то

т.е. среднее геометрическое нескольких положительных чисел не больше их среднего арифметического.

Равенство имеет место лишь в том случае, когда все числа 𝑎₁, 𝑎₂, ..., 𝑎𝑛 равны.

3) Если 𝑎₁, 𝑎₂, ..., 𝑎𝑛 - числа положительные, то

т.е. среднее арифметическое нескольких положительных чисел не больше их среднего квадратического.

Равенство имеет место лишь в том случае, когда все числа 𝑎₁, 𝑎₂, ..., 𝑎𝑛 равны.

4) Если 𝑎₁, 𝑎₂, ..., 𝑎𝑛 - числа положительные, то

т.е. среднее гармоническое несколько положительных чисел не больше их среднего геометрического.

Равенство имеет место лишь в том случае, когда все числа 𝑎₁, 𝑎₂, ..., 𝑎𝑛 равны.

5)

какие бы ни были числа 𝑎₁, 𝑎₂, ..., 𝑎𝑛, 𝑏₁, 𝑏₂, ..., 𝑏𝑛. Знак равенства здесь имеет место лишь в том случае, когда

𝑎₁ : 𝑏₁ - 𝑎₂ : 𝑏₂ = ... = 𝑎𝑛 : 𝑏𝑛.

6) Если 0 < 𝑎₁ ≤ 𝑎₂ ≤ ... ≤ 𝑎𝑛 и 0 < 𝑏₁ ≤ 𝑏₂ ≤ ... ≤ 𝑏𝑛, то

Если же 0 < 𝑎₁ ≤ 𝑎₂ ≤ ... ≤ 𝑎𝑛, но 𝑏₁ ≥ 𝑏₂ ≥ ... ≥ 𝑏𝑛 > 0, то

В обоих случаях равенство имеет место лишь тогда, когда

𝑎₁ = 𝑎₂ = ... = 𝑎𝑛 и 𝑏₁ = 𝑏₂ = ... = 𝑏𝑛.

7) При любых действительных 𝑎₁, 𝑎₂, ..., 𝑎𝑛

.

Равенство имеет место только при 𝑎₁ = 𝑎₂ = ... = 𝑎𝑛 = 0.

8) При любых действительных 𝑎₁, 𝑎₂, ..., 𝑎𝑛, 𝑏₁, 𝑏₂, ..., 𝑏𝑛

Равенство имеет место лишь тогда, когда каждое из чисел 𝑎₁, 𝑎₂, ..., 𝑎𝑛, 𝑏₁, 𝑏₂, ..., 𝑏𝑛 равно нулю.

9) При всех действительных 𝑎₁, 𝑎₂, ..., 𝑎𝑛, 𝑏₁, 𝑏 ₂, ..., 𝑏𝑛

Равенство имеет место лишь в том случае, когда

𝑎₁ : 𝑏₁ = 𝑎₂ : 𝑏 ₂ = ... = 𝑎𝑛 : 𝑏𝑛

10) При любых действительных 𝑎₁, 𝑎₂, ..., 𝑎𝑛, 𝑏₁, 𝑏₂, ..., 𝑏𝑛

Равенство имеет место лишь при условии, что

𝑎₁ : 𝑏₁ = 𝑎₂ : 𝑏₂ = ... = 𝑎𝑛: 𝑏𝑛

11) При положительном 𝑎 и любом рациональном 𝑟 > 1

(1 + 𝑎) 𝑟 > 1 + 𝑟𝑎.

ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

31. Функциональная зависимость величин

1. Постоянные и переменные величины. Наблюдая какой-либо процесс, можно заметить, что одни величины, встречающиеся в нем, изменяют свое значение, другие - не изменяют. Величины, которые в данном процессе все время сохраняют одно и то же значение, называют постоянными. Величины, значения которых в данном процессе изменяются, называют переменными.

Пример. Во время взлета самолета расстояние его от поверхности земли увеличивается, количество бензина в баках уменьшается, а число пассажиров, длина самолета остаются постоянными.

Одна и та же величина в одном процессе может быть постоянной, а в другом - переменной. Однако есть и такие величины, которые остаются постоянными все время, например отношение длины окружности к ее радиусу, сумма углов треугольника, температура кипения воды и т.д. Такие величины называют константами.

Обычно постоянные величины обозначают первыми буквами латинского алфавита: 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, а переменные - последними: 𝑥, 𝑦, 𝑧.

Изменяясь, переменная величина не всегда может принимать произвольные значения, а только такие значения, которые находятся в некоторых допустимых для нее пределах. Все те значения, которые величина может принимать в конкретных условиях рассматриваемого процесса, называются допустимыми значениями для данной переменной величины.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org