ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

28. Неравенства первой степени

1. Неравенства с неизвестными. Неравенство, содержащее буквы, обозначающие неизвестные числа, называется неравенством с неизвестными. Например, в неравенстве 2х + 3 > 12 буквой 𝑖 обозначено неизвестное число. Это неравенство с одним неизвестным 𝑥. Неравенство 2𝑥 + 3𝑦 > 5 - с двумя неизвестными 𝑥 и 𝑦.

Если в неравенство с одним неизвестным вместо неизвестного поставить какое-нибудь число и в результате получится верное числовое неравенство, то говорят, что это число удовлетворяет данному неравенству. Каждое число, удовлетворяющее неравенству, называют решением этого неравенства. Решить неравенство - значит найти все его решения. Для решения неравенств, так же как и уравнении, их надо преобразовать в неравенства более простые и равносильные исходным.

Два неравенства называются равносильными (или эквивалентными), если каждое из них имеет те и только те решения, что и другое.

Преобразования неравенств в равносильные им основаны на следующих свойствах.

а) Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или многочлен относительно неизвестного, то новое неравенство будет равносильно данному.

б) Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то новое неравенство будет равносильно данному.

в) Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и переменить знак неравенства на противоположный, то новое неравенство будет равносильно данному.

г) Члены неравенства можно переносить из одной части в другую, изменяя их знаки на противоположные.

д) Если в обеих частях неравенства имеются одинаковые члены, то их можно отбросить.

В результате таких преобразований полученные неравенства будут равносильны данным.

2. Неравенства первой степени с одним неизвестным. Неравенствами первой степени с одним неизвестным называются такие неравенства, в которых одна часть представляет собой многочлен первой степени относительно одного неизвестного, а вторая тоже многочлен первой степени относительно того же неизвестного или какое-нибудь число.

Общий вид таких неравенств: 𝑎𝑥 + 𝑏 > 𝑐𝑥 + 𝑑; 𝑎𝑥 + 𝑏 < 𝑐𝑥 + 𝑑.

Некоторые из коэффициентов 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 могут быть нулями, а та или иная часть неравенства может содержать лишь один член или может даже быть равной нулю, например 4𝑥 - 5 > 1 + 3𝑖; 2𝑥 < 1,5𝑖 - 4; 2𝑥 - 9 > 0. Только а и с одновременно не могут быть нулями, так как в этом случае мы имели бы просто числовое неравенство.

Всякое неравенство первой степени можно привести к виду

𝑎𝑥 > 𝑏 или 𝑎𝑥 < 𝑏.

Пусть имеем неравенство 𝑎𝑥 > 𝑏. Разделив обе ее части на 𝑎, получим

, если 𝑎 > 0,

, если 𝑎 < 0.

Так записывают множество всех решений данного неравенства. Приведем примеры решения неравенств первой степени с одним неизвестным.

Пример 1. Решить неравенство

6𝑖 + 20 > 3𝑖 + 35.

Решение.

6𝑖 - 3𝑖 > 35 - 20,

3𝑖 > 15,

𝑥 > 5.

Ответ. 𝑥 > 5. Этот ответ можно изобразить на числовой оси. Область решений (все действительные числа, больше 5) можно отметить дугой (рис. 25,а) или штриховкой (рис. 25,б).

Рис. 25

Пример 2. Решить неравенство

Решение.

𝑖 + 3 - 24 > 2𝑥 - 1 + 3,

𝑥 - 24 > 2𝑥 - 1,

𝑥 - 2𝑥 > -1 + 24

- 𝑖 > 23.

𝑖 < -23.

Ответ. 𝑥 < -23.

Пример 3. Решить неравенство

Решение.

Ответ. 𝑧 < -2.

3. Система неравенств первой степени с одним неизвестным. Чтобы решить систему двух или нескольких неравенств с одним неизвестным, надо решить каждое из данных неравенств отдельно и взять общую часть множеств всех их решений.

Пример. Решить систему неравенств

Решение. Решаем каждое неравенство

3𝑥 + 5 < 17 - 𝑥,
3𝑥 + 𝑥 < 17 - 5,
4𝑥 < 12,
𝑖 < 3.
4𝑥 > 𝑥 - 6,
4𝑥 - 𝑥 > - 6,
3𝑥 > -6,
𝑖 > -2.

Итак, данная система неравенств равносильна такой:

Как видно из рис. 26, обоим неравенствам удовлетворяют числа большие -2, но меньшие 3.

Ответ. -2 < 𝑥 < 3.

Рис. 26

Пример. Решить систему неравенств

Решение.

7𝑥 > 2𝑥 + 20,
7𝑥 - 2𝑥 > 20,
5𝑖 > 20,
𝑥 > 4.
𝑥 - 3< 6 - 2𝑥,
𝑖 + 2𝑥 < 6 + 3,
3𝑖 < 9,
𝑥 < 3.

Первому неравенству удовлетворяют числа, большие 4, а второму - меньшие 3. Но нет такого числа, которое было бы одновременно больше 4 и меньше 3 (рис. 27).

Рис. 27

Ответ. Данная система неравенств решений не имеет.

Пример. Решить систему неравенств

Решение.

8𝑥 + 12 > 2𝑥,
8𝑥 - 2𝑥 > -12.
6𝑥 > -12,
𝑥 > -2.
2(𝑥 + 2) + 3 > 7,
4𝑥 + 3 > 7,
4𝑥 > 0,
𝑥 > 0.
0,5(𝑥 + 1) ≥ 2,
0,5𝑥 + 0,5 ≥ 2,
0,5𝑥 ≥ 1,5,
𝑥 ≥ 3.

Всем данным неравенствам удовлетворяют числа 𝑖 ≥ 3 (рис. 28).

Ответ. 𝑥 ≥ 3.

Рис. 28

4. Неравенства, в которых некоторые члены входят под знак абсолютной величины. Неравенство |𝑥| < 𝑎 равносильно такому двойному неравенству - 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 или такой системе

Пример. Решить неравенство

|3𝑥 + 2| < 5.

Решение. Данное неравенство равносильно такой системе

Решим ее.

Ответ.

Неравенству |𝑥| > 𝑎 удовлетворяют все решения неравенства 𝑥 > 𝑎 и все решения неравенства 𝑥 < - 𝑎.

Пример. Решить неравенство

|2𝑥 - 1| > 5.

Решение.

2𝑖 - 1 > 5,
2𝑖 > 6,
𝑥 > 3.
2𝑖 - 1< -5,
2𝑖 < -4,
𝑥 < -2.

Ответ. Данному неравенству удовлетворяют все числа 𝑥 > 3 и все числа 𝑥 < -2 (рис. 29).

Рис. 29

Примечание. Данное неравенство распалось на два изолированных неравенства, но не на их систему. Система двух полученных неравенств не имеет решений, а неравенство рассматриваемого вида всегда имеет решения.

29. Неравенства второй степени и высших степеней

1. Неравенства второй степени. Неравенство второй степени с одним неизвестным в общем случае записывается так:

𝑎₁𝑖² + 𝑏₁𝑖 + 𝑐₁ > 𝑎₂𝑖² + 𝑏₂𝑖 + 𝑐₂

Его всегда можно записать в виде

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0

или

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0.

Коэффициент 𝑎 можно считать положительным (если бы он был отрицательным, можно было бы обе части неравенства умножить на -1, изменив знак неравенства на противоположный). Чтобы решить неравенство

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0,

надо сначала вычислить его дискриминант 𝑏² - 4𝑎𝑐. Если он окажется положительным, т.е. если трехчлен в левой части неравенства будет иметь разные действительные корни, то данному неравенству удовлетворяют все числа, большие большего корня и меньшие меньшего корня. Если дискриминант будет отрицательным, то данному неравенству будут удовлетворять все действительные числа. Если, наконец, дискриминант будет равен нулю, то данному неравенству будут удовлетворять все действительные числа, кроме .

Неравенству 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 при положительном дискриминанте удовлетворяют все те значения неизвестного, которые больше меньшего корня трехчлена в левой части, но меньше большего корня. Если же дискриминант равен нулю или отрицательный, то данное неравенство не имеет решений.

Пример 1. Решить неравенство

2𝑥² + 3𝑖 - 2 > 0.

Решение. Здесь 𝑏² - 4𝑎𝑐 = 9 + 16 = 25 > 0. Найдем корни трехчлена в левой части. Для этого решим уравнение

2𝑥² + 3𝑥 - 2 = 0,

Ответ. 𝑥 < -2 и 𝑥 > 0,5.

Пример 2. Решить неравенство

-3𝑥² + 5𝑖 - 4 > 0.

Решение. Так как коэффициент при 𝑥² здесь отрицательный, умножим обе части неравенства на -1:

3𝑖² - 5𝑖 + 4< 0;

𝑏² - 4𝑎𝑐 = 25 - 48 = -23< 0.

Ответ. Данное неравенство не имеет решений.

Пример 3. Решить неравенство

𝑖² - 5𝑥 + 6< 0.

Решение.

𝑏² - 4𝑎𝑐 = 25 - 24 = 1 > 0.

Ответ. 2< 𝑖 < 3.

Пример 4. Решить неравенство

2𝑖² - 5𝑥 + 6 > 0.

Решение.

𝑏² - 4𝑎𝑐 = 25 - 48 = -23< 0.

Ответ. Данному неравенству удовлетворяет каждое действительное число.

Пример 5. Решить неравенство

𝑖² - 6𝑥 + 9 > 0.

Решение.

𝑏² - 4𝑎𝑐 = 36 - 36 = 0.

Ответ. Данному неравенству удовлетворяют все числа, кроме 3.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org