ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

Задача 4. Дорога между пунктами 𝑎 и 𝐵 состоит из подъема и спуска. Велосипедист, двигаясь на спуске со скоростью на 6 км/ч большей, чем на подъеме, тратит на путь от 𝑎 до 𝐵 2 ч 40 мин, а на обратный путь от 𝐵 до 𝑎 на 20 мин меньше. Найти скорость велосипедиста на подъеме и на спуске и длину подъема в направлении от 𝑎 и 𝐵, если длина всей дороги равна 36 км.

Решение. Обозначим длину подъема в км через 𝑥, а скорость велосипедиста на подъеме через 𝑦 (км/ч).

Далее запишем данные в виде схемы:

Этапы𝑆𝑣𝑡
Подъем𝑖𝑦
Спуск36 - 𝑥𝑦 + 6

2 ч 40 мин =

Этапы𝑆𝑣𝑡
Подъем36 - 𝑖𝑦
Спуск𝑥𝑦 + 6

2 ч 40 мин - 20 мин = 2 ч 20 мин = ч

Решив полученную систему уравнений, находим 𝑦₁ = 12, 𝑦₂ = -3,6; 𝑖₁= 24. Таким образом, длина подъема от 𝑎 до 𝐵 - 24 км скорость на подъеме - 12 км/ч, скорость на спуске - 18 км/ч. Ответ. 12 км/ч, 18 км/ч и 24 км.

Задача 5. Деревянная балка весит 90 кг, а железная балка, длина которой на 2 м больше деревянной, весит 160 кг, причем вес 1 пог. м железной балки на 5 кг больше веса 1 пог. м деревянной балки. Найти вес 1 пог. м и длину каждой балки. Решение. Приведем сокращенную запись.

Длина деревянной балки - 𝑥 (м)

Длина железной балки - 𝑖 + 2 (м)

Вес деревянной балки - 90 кг

Вес 1 пог. м деревянной балки - 𝑦 (кг)

Вес 1 пог. м железной балки - 𝑦 + 5 (кг)

Вес железной балки - 160 кг

Получаем систему уравнений

Решив эту систему, получим 𝑥1,2 = 6, 𝑦 = 15.

Ответ. Вес 1 пог. м деревянной балки 15 кг, длина деревянной балки 6 м, вес 1 пог. м железной балки - 20 кг, длина железной балки 8 м.

Задача 6. По двум сторонам прямого угла по направлению к его вершине движутся равномерно два тела. В известный момент тело 𝑎 отстояло на 60 м от вершины угла, а тело 𝐵 - на 80 м от нее. Через 3 сек расстояние между 𝑎 и 𝐵 стало равно 70 м, а через следующие 2 сек расстояние между телами уменьшилось еще на 20 м. Найти скорость каждого тела.

Решение. Обозначим скорость тела 𝑎 через 𝑥 (м/сек), скорость 𝐵 через у (м/сек). Тогда расстояние от 𝑎 до вершины угла через 3 сек - 60 - 3𝑥; расстояние от 𝑏 до вершины угла через 30 сек - 80 - 3𝑦, квадрат расстояния между этими телами через 3 сек будет составлять (60 - 3𝑥)² + (80 - 3𝑦)². Так как по условию задачи расстояние равно 70 м, получаем уравнение

(60 - 3𝑥)² + (80 - 3𝑦)² = 70².

Расстояние тела 𝑎 от вершины угла через 3 сек + 2 сек = 5 сек - 60 - 5𝑖; расстояние от тела 𝐵 до вершины угла через 5 сек - 80 - 5𝑦, тогда квадрат расстояния между этими телами через 5 сек будет (60 - 5𝑖)² + (80 - 5𝑦)². Так как по условию расстояние равно (70 - 20) = 50 (м), то получим уравнение

(60 - 5𝑖)² + (80 - 5𝑦)² = 50².

Решив систему уравнений

(60 - 3𝑖)² + (80 - 3𝑦)² = 70²,

(60 - 5𝑖)² + (80 - 5𝑦)² = 50²,

получим 𝑦1, 2 = 8, 𝑖1, 22 = 6. Следовательно, скорость тела 𝑎 равна 6 м/сек; скорость тела 𝐵 - 8 м/сек.

Ответ. 6 м/сек; 8 м/сек.

Задача 7. По круговой дорожке длиной 2 км движутся в одном направлении два конькобежца, которые сходятся через каждые 20 мин. Найти, с какой скоростью движется каждый конькобежец, если первый пробегает окружность на 1 мин скорее второго.

Решение. Обозначим скорость первого конькобежца через

𝑥 (км/мин), скорость второго - через 𝑦 (км/мин). Тогда первый пройдет всю дорожку за мин, второй за мин; так как первый из них пробегает дорожку на 1 мин быстрее второго, получаем уравнение

Каждую минуту расстояние между конькобежцами увеличивается на 𝑥 - 𝑦. За время, прошедшее от одной встречи до следующей (т.е. за 20 мин), расстояние должно увеличиться на 2 км, поэтому 20 (𝑥 - 𝑦) = 2. Полученная система уравнений имеет решение: Значит, скорость первого конькобежца км/мин = 30 км/ч, а скорость второго - км/мин = 24 км/ч.

Ответ. 30 км/ч, 24 км/ч.

Задача. Рабочий изготовил в назначенный срок некоторое количество одинаковых деталей. Если бы он ежедневно изготовлял их на 10 штук больше, то выполнил бы работу на дня раньше срока, а если бы он делал на 5 деталей меньше, то опоздал бы на 3 дня против назначенного срока. Сколько деталей и в какой срок он выполнил?

Решение. Пусть рабочий сделал 𝑥 деталей в 𝑦 дней. Тогда ежедневно он изготовлял деталей. По условию, если бы он ежедневно изготовлял деталей, то выполнил бы работу за дня. Значит . Второе условие дает уравнение . Получаем систему уравнений

Сначала находим . Тогда 𝑦 = 27, а так как 𝑥 = 50𝑦, то 𝑥 = 1350. Значит, рабочий сделал 1350 деталей за 27 дней.

Ответ. 1350 деталей, 27 дней.

Задача 9. При совместной работе двух тракторов различной мощности колхозное поле было вспахано за 8 дней. Если бы половину поля вспахать сначала одним трактором, то при дальнейшей работе двух тракторов вся работа была бы закончена за 10 дней. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором отдельно?

Решение. Пусть первым трактором можно вспахать все поле за х дней, вторым - за у дней. Первое условие дает

Первый трактор может вспахать половину поля за дней. По условию другая половина может быть вспахана двумя тракторами за дней. Отсюда получаем второе уравнение

Решив систему уравнений, получим 𝑥 = 12, 𝑦 = 24. Следовательно, первым трактором можно вспахать поле за 12 дней, вторым - за 24 дня.

Ответ. 12 дней, 24 дня.

27. Числовые неравенства

1. Понятие о неравенстве. Два числа или выражения, соединенные знаком "больше" (>) или знаком "меньше" (<), образуют неравенство.

Примеры неравенств:

Выражение, стоящее слева от знака неравенства, называется левой частью, а выражение, стоящее справа от знака неравенства,- правой частью.

Знаки > и < противоположны друг другу. Если два неравенства имеют противоположные знаки, то они называются неравенствами противоположного смысла. Так, -4 > -5 и 2 < 5 являются неравенствами противоположного смысла.

Иногда между двумя числами или выражениями ставят знаки ≥ (не меньше) и ≤ (не больше), например

Такие записи называют нестрогими неравенствами.

Примечания.

1. Знаки > (больше) и < (меньше) предложил английский алгебраист Т. Гарриот (1560-1621) в своем сочинении по алгебре, опубликованном посмертно в 1631 г.

2. Неравенствами называют также два числа или выражения, соединенных знаком ≠ (не равно). Однако дальше речь будет идти не о таких неравенствах.

Неравенства бывают числовые и буквенные. Числовыми называют такие неравенства, обе части которых есть числа, записанные цифрами. Если хотя бы одна часть неравенства есть буквенное выражение, такое неравенство называется буквенным.

2. Свойства числовых неравенств.

1) Если первое число больше второго, а второе больше третьего, то первое также больше третьего. С помощью букв это свойство (его называют свойством транзитивности) можно записать так:

Если 𝑎 > 𝑏 и 𝑏 > 𝑐, то 𝑎 > 𝑐.

2) Неравенство не нарушится, если к каждой части его прибавить одно и то же число, т.е.

если 𝑎 > 𝑏, то 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐.

Примеры.

а) К обеим частям неравенства 9 > 5 прибавим по 7, получим 16 > 12.

б) Из обеих частей неравенства -12 < 1 вычтем по 5, т.е. прибавим по -5, получим -7 < -4.

3) Любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, переменив его знак на противоположный, т.е. из 𝑎 + 𝑏 > 𝑐 следует, что 𝑎 > 𝑐 - 𝑏, 𝑎 + 𝑏 - 𝑐 > 0.

4) Если обе части неравенства имеют одинаковые члены, их можно опустить, т.е. из неравенства 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 следует неравенство 𝑎 > 𝑏.

5) Два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать; при этом получим неравенство такого же смысла, как и данные.

Примеры.

6) Из одного неравенства можно почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое.

Примеры.

7) Неравенство остается верным, если обе части его умножить на одно и то же положительное число. Неравенство переходит в равенство 0 = 0, если обе части его умножить на нуль. Неравенство меняет смысл на противоположный, если обе части его умножить на одно и то же отрицательное число. Это свойство кратко записывается так.

Если 𝑎 > 𝑏, то при 𝑐 > 0, 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐;

при 𝑐 = 0, 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐;

при 𝑐 < 0, 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐.

Примеры.

Дано неравенство
7 > 4
-9 < -1
13 > 9
3 > -10
-3,2 > -7,5
Множитель
2
4
-2
-5
0
Новое неравенство
14 > 8
-36 < -4
-26 < -18
-15 < 50
0 = 0

Примечание. Так как деление на число, отличное от нуля, можно рассматривать как умножение на обратное ему число, то это свойство распространяется и на деление обеих частей неравенства на положительное и отрицательное число:

если 𝑎 > 𝑏, то при 𝑐 > 0

при 𝑐 < 0.

8) Если почленно перемножить два неравенства, имеющих положительные члены и один и тот же смысл, то получится неравенство того же смысла, т.е.

если 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 - положительные и 𝑎 > 𝑏, 𝑐 > 𝑑, то 𝑎𝑐 > 𝑏𝑒.

9) Неравенство, имеющее положительные члены, не нарушается, если каждую его часть возвести в степень с одним и тем же натуральным показателем, т.е. если 𝑎, 𝑏 - положительные, 𝑛 - натуральное и 𝑎 > 𝑏, то 𝑎 ⁸ > 𝑏 ⁸.

10) Если 𝑎, 𝑏 - положительные, 𝑛 - натуральное и 𝑎 > 𝑏, то

.

Примечание. Все эти свойства, сформулированные для строгих числовых неравенств, остаются в силе и для нестрогих числовых неравенств: везде вместо знака > можно поставить ≥.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org