ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

Пример 3.

Решение.

𝑥𝑦 + 2 - 2𝑦 - 𝑖 = (𝑥𝑦 - 𝑖) + (2 - 2𝑦) = 𝑖 (𝑦 - 1) - 2(𝑦 - 1) = (𝑦 - 1)(𝑖 - 2).

Тогда

(𝑖 - 2)(𝑦 - 1) = 0 или 𝑖 -2 = 0 или 𝑦 - 1 = 0.

Значит, система приводится к решению совокупности двух систем уравнений

Пример 4.

Эту систему можно решать несколькими способами.

Первый способ (способ подстановки). Из второго уравнения определяем одно неизвестное через другое; например, . Подставив это значение в первое уравнение, получим биквадратное уравнение:

𝑦⁴ - 𝑎𝑦² + 𝑏² = 0.

Решив его, найдем для 𝑦 четыре значения. Подставляя их в , получим четыре соответствующих значения 𝑥.

Второй способ. Умножим второе уравнение на 2 и прибавим к первому:

𝑖² + 𝑦² + 2𝑥𝑦 = 𝑎 + 2𝑏 или (𝑥 + 𝑦)² = 𝑎 + 2𝑏;

откуда

, т.е. получили систему уравнений

Решение этой системы рассмотрено выше.

Третий способ. Если умножить обе части второго уравнения на 2 и вычесть его почленно из первого, то получим

𝑥² + 𝑦² - 2𝑥𝑦 = 𝑎 - 2𝑏,

или

, когда 𝑎 ≥ 2𝑏.

Если умножить второе уравнение на 2 и прибавить к первому, то получим

Таким образом, имеем совокупность четырех систем линейных уравнений:

Четвертый способ. Возвысив второе уравнение в квадрат, получим следующую систему:

Отсюда видно, что 𝑥² и 𝑦² - корни квадратного уравнения:

𝑧² - 𝑎𝑧 + 𝑏² = 0.

Решив его, получим:

𝑥² = 𝑧₁, 𝑦² = 𝑧₁

и, наоборот,

𝑥² = 𝑧₂, 𝑦² = 𝑧₁ и т.д.

Ниже рассмотрим два конкретных примера.

Пример 5.

Решение.

Составляем уравнение

𝑡² - 41𝑡 + 400 = 0.

Откуда 𝑡₁ = 25, 𝑡₂ = 16. Значит 𝑥² = 25, 𝑦² = 16 и, наоборот, 𝑦² = 25; 𝑖² = 16.

𝑖1,2 = ±5; 𝑖3,4 = ±4;

𝑦1,2 = ±4; 𝑦3,4 = ±5.

Учитывая, что 𝑥𝑦 > 0, получаем всего четыре решения данной системы.

Ответ.

𝑖₁ = 5, 𝑦₁ = 4;

𝑥₂ = -5, 𝑦₂ = -4;

𝑖₃ = 4, 𝑦₃ = 5;

𝑖₄ = -4, 𝑦₄ = -5.

Пример 6.

Решение.

Составляем квадратное уравнение

𝑡² - (𝑎² + 4𝑏²) 𝑡 + 4𝑎²𝑏² = 0.

Отсюда 𝑡₁ = 𝑎², 𝑡₂ = 4𝑏², 𝑥1,2 = ±𝑎, 𝑦 = ±2𝑏, 𝑖3,4 = ±2𝑏, 𝑦3,4 = ± 𝑎

Ответ.

𝑖₁ = 𝑎, 𝑦₁ = 2𝑏;

𝑥₂ = - 𝑎, 𝑦₂ = -2𝑏;

𝑖₃ = 2𝑏, 𝑦₃ = 𝑎;

𝑖₄ = -2𝑏, 𝑦₄ = - 𝑎.

Во многих случаях способ введения новых переменных значительно упрощает решение системы уравнений. Пример 7. Решить систему

Решение. Пусть , тогда .

Имеем:

Значит, получаем две системы уравнений:

откуда находим четыре решения:

𝑖₁ = 3, 𝑦₁ = 5;

𝑥₂ = -3, 𝑦₂ = -5;

𝑖₃ = 5, 𝑦₃ = 3;

𝑖₄ = -5, 𝑦₄ = -3.

Пример 8. Решить систему

Решение. Умножим обе части второго уравнения на 2 и прибавим к первому:

𝑥² + 𝑦² + 2𝑥𝑦 + 2(𝑖 + 𝑦) = 24.

Положим 𝑥 + 𝑦 = 𝑧, тогда 𝑧² + 2𝑧 - 24 = 0, откуда 𝑧₁ = -6, 𝑧 ₂ = 4. Получается две системы:

которые имеют два действительных решения:

𝑖₁ = 1, 𝑦₁ = 3 и 𝑖 ₂ = 3, 𝑦₂ = 1

Пример 9. Решить систему

Решение. Делим второе уравнение на 𝑥 ῲ 𝑦² (легко показать, что 𝑥 ≠ 0, 𝑦 ≠ 0), тогда

Прибавим к обеим частям второго уравнения по , тогда получим

или

Полагая , имеем: . После получения значений и система приводится к двум таким системам:

которые решаются легко.

Пример 10.

Решение. Уравняем свободные члены

и сложим полученные уравнения:

5𝑥² - 19𝑥𝑦 + 12𝑦² = 0.

Так как у ≠ 0, то разделим обе части этого уравнения на 𝑦²:

Полагая , получаем уравнение

5𝑢² - 19𝑢 + 12 = 0,

откуда . Следовательно, 𝑥 = 3𝑦 и .

Подставив значение 𝑥 = 3𝑦 в одно из данных уравнений, например во второе, получим , откуда . Если взять , то получим 𝑖 = ±4, 𝑦 = ±5.

Ответ.

Примечание. Рассмотренным здесь приемом можно решать также многие приведенные ранее системы (см. примеры 2, 5, 8).

26. Задачи на составление систем уравнений

Задача 1. Расстояние между двумя городами, равное 480 км, пассажирский поезд проходит на 4 ч скорее товарного. Если скорость пассажирского поезда увеличить на 8 км/ч, а скорость товарного увеличить на 2 км/ч, то пассажирский поезд пройдет все расстояние на 5 ч скорее товарного. Найти скорость каждого поезда.

Решение. Обозначим скорость товарного поезда через 𝑥 (км/ч), а скорость пассажирского поезда через 𝑦 (км/ч). Тогда в первом случае товарный поезд пройдет 480 км за (ч), а пассажирский - за (ч).

Так как время движения пассажирского поезда меньше времени движения товарного на 4 ч, то получим уравнение:

Во втором случае скорость товарного поезда будет 𝑥 + 2 (км/ч), а скорость пассажирского 𝑦 + 8 (км/ч). Значит, товарный поезд пройдет 480 км за (ч), а пассажирский - за (ч). Тогда, согласно условию задачи, составим уравнение

Таким образом, получили систему уравнений

или

Решив эту систему уравнений, получим: 𝑥 = 30 км/ч, 𝑦 = 40 км/ч. Ответ. 30 км/ч и 40 км/ч.

Задача 2. Студенты взяли на лодочной станции напрокат лодку. Сначала они спустились на 20 км вниз по течению реки, затем повернули обратно и вернулись на лодочную станцию, затратив на всю прогулку 7 ч. На обратном пути, на расстоянии 12 км от лодочной станции, они встретили плот, проплывавший мимо лодочной станции как раз в тот момент, когда они отправлялись на прогулку. Определить, с какой скоростью двигалась лодка вниз по течению реки и какова скорость течения реки.

Решение. Если обозначить скорость лодки в стоячей воде через 𝑥 (км/ч), скорость течения реки, а следовательно, и скорость плота через 𝑦 (км/ч), то скорость лодки по течению будет 𝑥 + 𝑦, против течения 𝑥 - 𝑦, время движения лодки по течению ч, против течения ч, до встречи с плотом и, наконец, время движения плота .

Так как, согласно условию, прогулка длилась 7 ч, получим уравнение

Поскольку время движения лодки и плота до их встречи было одно и то же, получим уравнение

Решая систему уравнений

находим 𝑥 = 7, 𝑦 = 3. Итак, скорость лодки по течению равна 10 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч.

Ответ. 10 км/ч и 3 км/ч.

Задача 3. На двух прямоугольных участках земли посажено рядами 350 плодовых деревьев, причем оказалось, что на каждом участке число рядов на 1 больше числа деревьев в ряду. По скольку деревьев было посажено в каждом ряду на том и другом участке, если на первом из них было на 130 деревьев больше, чем на втором?

Решение. Обозначим число деревьев в ряду на первом участке через 𝑥, на втором через 𝑦. Тогда число рядов на первом участке будет 𝑥 + 1 на втором 𝑦 + 1. А деревьев на первом участке будет 𝑥 (𝑖 + 1), на втором 𝑦 (𝑦 + 1). Согласно условию задачи получаем систему уравнений

Решив эту систему, получим: 𝑥₁ = 15, 𝑥₂ = 16, 𝑦₁ = 10, 𝑦₂ = -11. Значит, число деревьев в ряду на первом участке равно 15, на втором 10.

Ответ. 15; 10.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org