ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

Пример 3. Решить уравнение .

Решение.

Значение 𝑖 = 4 удовлетворяет уравнению. Значение 𝑥 = 284 ему не удовлетворяет.

Ответ. 𝑥 = 4.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Область допустимых значений 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 16 и 𝑖 ≠ 49.

Проверка.

Ответ. 𝑥 = 100.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат.

После преобразований имеем: 11𝑖² + 𝑖 - 12 = 0. Тогда

Значение 𝑥 = 1 является корнем данного уравнения, а не удовлетворяет уравнению.

Ответ. 𝑥 = 1.

Пример 6. Решить уравнение

Решение.

Проверка.

Ответ. 𝑥 = 1.

Пример 7. Решить уравнение

Решение.

После возведения в квадрат обеих частей уравнения и некоторых преобразований получаем:

Пусть 𝑎 > 0. Тогда 𝑖₁ удовлетворяет данному уравнению, а 𝑥 ₂ - нет. Если 𝑎 < 0, то 𝑥 ₂ удовлетворяет, а 𝑥₁ - нет.

Ответ.

3. Решение иррациональных уравнений способом замены. Этот способ состоит в том, что выражение, находящееся под знаком радикала, обозначают новым неизвестным в некоторой степени, так чтобы корень извлекался.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Область допустимых значений: 𝑥² - 4 ≥ 0, т.е., 𝑥 ≤ - 2 и 𝑖 ≥ 2.

Положим , тогда 𝑥² - 4 = 𝑦², 𝑥² = 𝑦² + 4 и данное уравнение принимает вид 𝑦² - 𝑦 - 12 = 0, откуда 𝑦₁ = 4, 𝑦₂ = -3. 𝑦₂ отбрасываем, так как 𝑦 > 0. Найдем значение 𝑥 : 𝑥² = 𝑦² + 4 = 16 + 4 = 20, .

Оба значения принадлежат области допустимых значений и удовлетворяют уравнению, в чем можно убедиться путем проверки.

Ответ.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Пусть . Тогда

Первая система в области действительных чисел не имеет решений, Вторую систему решаем устно: 𝑢₁ = 3, 𝑣₁ = 2; 𝑢₂ = 2, 𝑣₂ = 3. Отсюда 𝑖₁ = 16, 𝑥₂ = 81.

Оба корня удовлетворяют данному уравнению.

Ответ. 𝑥₁ = 16, 𝑥 ₂ = 81.

4. Умножение обеих частей уравнения на величину, сопряженную выражению в левой части.

Пример. Решить уравнение .

Область допустимых значений: 𝑥 + 4 ≥ 0, 𝑥 ≥ -4; 20 + 𝑥 ≥ 0, 𝑖 ≥ -20. Следовательно, 𝑖 ≥ -4.

Решение. Положим . Перемножим эти равенства почленно:

(𝑥 + 4) - (20 + 𝑥) = 8𝑦, откуда 𝑦 = -2.

Тогда

Складывая эти уравнения, получаем , откуда 𝑖 + 4 = 9, 𝑖 = 5. Это значение принадлежит области допустимых значений и удовлетворяет уравнению.

Ответ. 𝑖 = 5.

5. Применение формул сокращенного умножения.

Пример. Решить уравнение .

Решение.

(Так как (𝑎 - 𝑏)³ = 𝑎³ - 𝑏³ - 3𝑎𝑏 (𝑎 - 𝑏)).

Учитывая, что по условию выражение в квадратных скобках должно быть равно 2, получим:

откуда

Проверка.

Ответ.

25. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными

1. Уравнение второй степени с двумя неизвестными. Общий вид уравнения второй степени с двумя неизвестными такой:

𝑎𝑥² + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦² + 𝑒𝑥 + 𝑓𝑦 + 𝑓 = 0.

Здесь 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 - любые числа, только 𝑎, 𝑏, 𝑐 не могут одновременно равняться нулю. Примеры.

𝑖² + 3𝑥𝑦 + 0,5𝑦² - 5𝑦 = 0,

𝑥𝑦 + 7 = 0.

Однако уравнение

𝑖² + 5𝑥² 𝑦 + 3𝑦 - 2 = 0

не является уравнением второй степени, так как его член 5𝑥² 𝑦 не второй, а третьей степени (степенью одночлена называют сумму показателей всех его букв).

Уравнение второй степени с двумя неизвестными может иметь бесконечное множество решений, но может иметь только несколько или вообще не иметь решений.

Примеры. Уравнения:

𝑥² + 4𝑦² + 7 = 0 не имеет решений (действительных);

𝑥² + 9𝑦² = 0 имеет одно решение: 𝑥 = 0, 𝑦 = 0.

𝑥² + 2𝑥𝑦 = 0 имеет бесконечное множество решений: и т.д.

2. Системы двух уравнений, из которых одно первой степени, а другое - второй. В общем виде эта система уравнений записывается так:

Удобнее всего эту систему решать способом подстановки. Для этого достаточно из второго (линейного) уравнения выразить одно из неизвестных через другое и найденное выражение подставить в первое уравнение. В результате получим квадратное уравнение, решив которое, найдем значения одного из неизвестных. Затем, подставив эти значения неизвестного в какое-нибудь из данных уравнений (лучше в линейное), получим соответствующие значения второго неизвестного.

Пример 1. Решить систему:

Решение. Из второго уравнения находим: 𝑥 = 2𝑦 - 5. Подставляем в первое:

2(2𝑦 - 5)² + 15(2𝑦 - 5) 𝑦 + 4𝑦² + 43(2𝑦 - 5) + 24𝑦 + 7 = 0.

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим

42𝑦² - 5𝑦 - 158 = 0, откуда .

Из равенства 𝑥 = 2𝑦 - 5 найдем: .

Однако многие системы такого вида можно решать также искусственными способами.

3. Решение системы вида:

Пример 1.

Решение. Значения 𝑥 и 𝑦 можно рассматривать как корни квадратного уравнения

𝑧² - 5𝑧 + 4 = 0.

Имеем: 𝑧₁, 𝑧₂ = 4. Оба уравнения системы симметричны относительно 𝑥 и 𝑦, поэтому получаем две пары решений: если одно решение 𝑥₁ = 1, 𝑦₁ = 4, то второе будет, наоборот: 𝑥₂ = 4, 𝑦₂ = 1.

Пример 2.

Решение. Эту систему записываем в виде

Тогда 𝑖 и -𝑦 будут корнями квадратного уравнения:

𝑧₁ -7𝑧 - 18 = 0.

Получаем

𝑧₁ = 9, 𝑧 ₂ = -2.

Тогда

𝑖₁ = 9, -𝑦₁ = -2 или 𝑥₁ = 9, 𝑦₁ = 2 и 𝑥₂ = -2,

- 𝑦 ₂ = 9 или 𝑥 ₂ = -2, 𝑦 ₂ = -9.

4. Решение системы вида:

Возвысив первое уравнение в квадрат и вычтя из него второе, получим:

2𝑥𝑦 = 𝑎² - 𝑏, откуда .

Теперь вопрос сводится к решению системы:

которую мы рассмотрели выше.

5. Решение системы вида

Эта система решается почленным делением первого уравнения на второе. В результате данная система заменяется следующей, равносильной ей:

т.е. приводится к решению линейной системы с двумя неизвестными.

6. Система двух уравнений, из которых каждое второй степени. Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными имеет вид:

Такая система в общем виде не решается элементарно, так как она, вообще говоря, приводится к полному уравнению четвертой степени.

Рассмотрим некоторые частные виды таких систем, которые можно решить элементарно.

Пример 1.

Решение.

Подставив в первое (или во второе) уравнение 𝑥𝑦 = 20, получим: 𝑖 + 𝑦 = 9.

Тогда из системы уравнений

находим: 𝑥₁ = 5, 𝑦₁ = 4 и 𝑖 ₂ = 4, 𝑦 ₂ = 5.

Ответ. Данная система имеет два решения.

𝑖₁ = 4, 𝑦₁ = 5; 𝑖₂ = 5, 𝑦₂ = 4.

Пример 2.

Решение.

Отсюда

Подставляя значение 𝑦 во второе уравнение системы, получаем уравнение

11𝑖⁴ - 163𝑖² + 576 =0.

Отсюда . Тогда находим четыре значения 𝑖 : ; подставив их в уравнение 4𝑖² - 𝑥𝑦 = 24, получим соответствующие значения 𝑦.

Иногда системы решаются способом разложения левой части одного из уравнений на множители, если его правая часть равна нулю.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org