ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

Задача 2. Бригада лесорубов должна была по плану заготовить в несколько дней 216 куб. м дров. Первые три дня бригада выполняла ежедневно установленную планом норму, а затем каждый день заготовляла 8 куб. м сверх плана. Поэтому уже за день до срока было заготовлено 232 куб. м дров. Сколько дров в день должна была заготовить бригада по плану?

Решение. Количество дров, которое должна заготовить бригада за 1 день по плану, принимаем за 𝑥 (куб. м). Первые три дня бригада заготовила 3𝑖 (куб. м). Остальные дни она заготовляла по 𝑖 + 8 (куб. м). По плану она должна работать (дней); с производительностью 𝑥 + 8 (куб. м) в день она работала (дней).

Согласно условию задачи, имеем:

или

После преобразования получаем уравнение 𝑖² + 48𝑖 - 1728 = 0. Его корни 𝑖₁ = 24, 𝑖₂ = -72. Следовательно, бригада в день должна была заготовлять по плану 24 куб. м.

Ответ. 24 куб. м.

Задача 3. Два автомобиля выходят из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости другого, и поэтому первый автомобиль приходит на место на 1 ч раньше второго. Определить скорость обоих автомобилей, если известно, что расстояние между городами 560 км.

Решение. Принимаем скорость второго автомобиля за 𝑖 (км/ч). Тогда скорость первого будет 𝑖 + 10 (км/ч). Значит, время движения первого автомобиля будет ; время движения второго равно .

По условию задачи первое из этих чисел на 1 больше второго.

Следовательно,

После преобразований имеем: 𝑥² - 10𝑖 + 5600 = 0. Корни этого уравнения: 𝑥₁ = 70, 𝑖₂ = -80. Отбрасывая второй корень, так как скорость не может быть отрицательной, получаем: скорость первого автомобиля 70 км/ч. Тогда скорость второго равна 80 км/ч.

Ответ. 70 км/ч и 80 км/ч.

Задача 4. Теплоход прошел по течению реки 48 км и столько же против течения и потратил на весь путь 5 ч. Определить скорость теплохода в стоячей воде, если считать скорость течения реки 4 км/ч.

Решение. Скорость теплохода в стоячей воде принимаем за 𝑖 (км/ч). Тогда его скорость по течению реки будет 𝑖 + 4 (км/ч), а скорость против течения 𝑖 - 4 (км/ч). Значит, он пройдет по течению 48 км за ч и против течения за ч. По условию задачи получаем:

После преобразования получаем уравнение 5𝑖² - 96𝑖 - 80 = 0. Его корни: . Значит, скорость теплохода в стоячей воде была 20 км/ч.

Ответ. 20 км/ч.

Задача 5. Из пункта А отправили по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом из того же пункта вышла моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. С какой скоростью (в км/ч) проходил плот, если моторная лодка шла быстрее его на 12 км/ч?

Решение. Скорость плота принимаем за 𝑥 (км/ч), тогда скорость моторной лодки будет 𝑥 + 12 (км/ч). Время, в течение которого моторная лодка догнала плот (к этому моменту она прошла 20 км), будет: ч. Плот пройдет 20 км за ч. Но плот плыл на дольше, чем лодка. Тогда

После преобразований получаем уравнение 𝑖² + 12𝑖 - 45 = 0. Его корни 𝑥₁ = 3, 𝑥₂ = -15. Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи. Следовательно, плот плыл со скоростью 3 км/ч.

Ответ. 3 км/ч.

Задача 6. Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов 𝑎 и 𝐵, расстояние между которыми 28 км, и через час встречаются. Не останавливаясь, они продолжают путь с той же скоростью. Первый велосипедист прибывает в пункт 𝐵 на 35 мин раньше, чем второй в пункт 𝑎. Определить скорость каждого велосипедиста.

Решение. Расстояние между пунктами 𝑎 и 𝐵 представим отрезком 𝐴𝐵 и предположим, что велосипедисты встретились в точке 𝑐 (рис. 23).

Рис. 23

Обозначим расстояние 𝑎𝑐 (в км) через 𝑥. Тогда расстояние 𝐶𝐵 (в км) будет 28 - 𝑥. Из условия задачи следует, что скорость первого велосипедиста 𝑥 км/ч, а второго (28 - 𝑥) км/ч. Первый прошел расстояние 28 км за ч, а второй за ч.

Принимая во внимание, что первый велосипедист прибывает в пункт 𝐵 на 35 мин ч раньше, чем второй в пункт 𝑎, получаем уравнение:

После преобразований уравнение примет вид: 𝑖² + 68𝑖 - 1344 = 0. Его корни: 𝑥₁ = 16, 𝑥 ₂ = -84. Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи. Получаем, соответственно, скорости велосипедистов 16 и 12 км/ч.

Ответ. 16 км/ч и 12 км/ч.

Задача 7. Из двух пунктов 𝑎 и 𝐵, расстояние между которыми 24 км, отправились в одно и то же время два автомобиля навстречу друг другу. После их встречи автомобиль, вышедший из пункта 𝑎, приходит в пункт 𝐵 через 16 мин, а другой автомобиль приходит в пункт 𝑎 через 4 мин. Определить скорость каждого автомобиля.

Решение. Изобразим расстояние от 𝑎 до 𝐵 отрезком 𝐴𝐵 и предположим, что автомобили встретились в точке 𝑐 (рис. 24).

Рис. 24

Обозначим расстояние 𝑎𝑐 через 𝑖 (в км). Тогда расстояние СВ (в км) будет 24 - 𝑖. Так как 4 мин = , а 16 мин = ч, то скорость автомобиля, вышедшего из пункта 𝑎, равна (км/ч). Скорость автомобиля, вышедшего из пункта 𝐵, равна (км/ч).

До встречи первый автомобиль шел (ч); второй - (ч). До встречи они шли одно и то же время, поэтому

После преобразования получаем уравнение 𝑖² + 16𝑖 - 192 = 0. Его корни 𝑥₁ = 8, 𝑖 ₂ = -24.

Отрицательный корень отбрасываем. Значит, расстояние равно 8 км. Тогда скорости автомобилей: первого (км/ч); второго 15 · 8 = 120 (км/ч).

Ответ. 60 км/ч и 120 км/ч.

Задача 8. За 4 дня совместной работы двух тракторов различной мощности было вспахано 2/3 колхозного поля. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором отдельно, если первым трактором можно вспахать все поле на 5 дней скорее, чем вторым трактором?

Решение. Работу принимаем за единицу. Предполагаем, что вторым трактором можно вспахать все поле за 𝑖 дней, тогда первым трактором можно вспахать все поле за 𝑖 - 5 дней. Значит, за 4 дня второй трактор вспашет часть поля, первый часть. Так как это составит 2/3 всего поля, то получаем уравнение . После преобразования это уравнение примет вид: 𝑥² - 17𝑖 + 30 = 0. Его корни 𝑖₁ = 15, 𝑥₂ = 2. Второй корень не отвечает условию задачи, так как 2 - 5 = -3.

Значит, второй трактор может вспахать все поле за 15 дней, а первый - за 10 дней.

Ответ. 10 дней и 15 дней.

Задача 9. Колхоз купил для заправки тракторов на 𝑎 рублей лигроина и на такую же сумму керосина, всего 𝑛 кг. Сколько килограммов куплено лигроина и сколько керосина, если килограмм первого на 𝑏 рублей дороже килограмма второго?

Решение. Пусть куплено 𝑥 (кг) лигроина. Тогда керосина было куплено 𝑛 - 𝑥 (кг). Цена килограмма лигроина будет руб., а керосина руб. Так как килограмм лигроина на 𝑏 рублей дороже килограмма керосина, то получаем уравнение

После преобразования уравнение примет вид:

𝑏𝑥² - (2𝑎 + 𝑏𝑛) 𝑥 + 𝑎𝑛 = 0.

Тогда

Знак плюс перед радикалом не годится, потому что в этом случае 𝑥 был бы больше 𝑛, так как (Из условия задачи следует, что 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑛 > 0)

и

Покажем, что второй корень положительный, т.е., что

или же, что

тогда

Итак, имеем: лигроина

(кг

а керосина

(кг)

24. Иррациональные уравнения

1. Определение. Иррациональным называется каждое уравнение, левая и правая части которого есть алгебраические выражения, причем хотя бы одно из них иррационально. Примеры иррациональных уравнений:

Но уравнения не иррациональны. В элементарной алгебре рассматриваются лишь такие иррациональные уравнения, в которых имеющиеся радикалы четной степени предполагают арифметическими (а нечетной степени - положительными или отрицательными, в зависимости от знака подкоренного выражения).

Общий метод решения иррационального уравнения заключается в том, что сначала изолируется один радикал, затем обе части уравнения возводят в степень, потом снова изолируется радикал и т.д. Всякое иррациональное уравнение после конечного числа таких преобразований может быть приведено к рациональному уравнению. Получающееся в результате уравнение, вообще говоря, не будет эквивалентным заданному. Поэтому, найдя решения этого уравнения, надо проверить их путем подстановки в данное уравнение и отбросить, как посторонние, те из них, которые не будут ему удовлетворять. Однако, если обе части иррационального уравнения возводились в нечетную степень, то проверять решение не обязательно, так как в этом случае придем к уравнению, эквивалентному данному.

Если уравнение содержит радикалы с неизвестным в знаменателе, то его надо, как всегда, освободить от знаменателя, выполнив необходимые преобразования.

Прежде чем приступить к решению иррационального уравнения, целесообразно определить область допустимых значений для неизвестного, так как в некоторых случаях после этого вообще отпадает необходимость решать уравнение.

Пример. Решить уравнение

Решение. Для первого радикала 𝑥 ≥ 3, для второго 𝑥 ≤ 2. В области действительных чисел уравнение не имеет решений, так как нет общих значений 𝑥, для которых оба радикала имеют значение.

Ответ. Данное уравнение не имеет решений.

2. Решение простейших иррациональных уравнений.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Проверка. . Как видим, 𝑥 = 3 удовлетворяет данному уравнению.

Ответ. 𝑥 = 3.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Возведем в квадрат обе части

𝑥 - 7 = 𝑥² - 26𝑖 + 169;

𝑥² - 27𝑖 + 176 = 0, 𝑥₁ = 16, 𝑥₂ = 11.

Проверкой легко убедиться, что 𝑖 = 16 удовлетворяет уравнению. 𝑖₂ = 11 уравнению не удовлетворяет. Ведь левая часть уравнения неотрицательное число; тогда и правая часть должна быть неотрицательным числом, а это возможно при условии, что 𝑖 ≥13.

Ответ. 𝑥 = 16.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org