ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

Рассмотрим на примерах, как с помощью этой формулы решать уравнения.

Пример 1. Решить уравнения:

а) 𝑥² - 4𝑥 - 60 = 0;

б) .

Решение.

а) Здесь 𝑝 = -4, 𝑞 = -60. По формуле имеем:

б) Здесь . По формуле имеем:

Пример 2. Решить уравнение 𝑥² + 2𝑚𝑥 - 2(𝑚𝑛 + 0,5𝑛²) = 0.

Решение. Здесь . По формуле имеем:

Примечание. Формулы ±│ 𝑚 + 𝑛 │ и ± (𝑚 + 𝑛) дают одинаковые пары чисел, поэтому в данном случае вместо - 𝑚 ± │ 𝑚 + 𝑛 │ можно писать - 𝑚 ±(𝑚 + 𝑛).

Дальше дано несколько примеров на исследование квадратных уравнений приведенного вида.

Пример 1: Не решая следующих уравнений, определить, какие из них имеют два различных корня или не имеют корней (действительных).

а) 𝑥² - 4𝑥 + 4 = 0; б) 𝑥² - 2𝑥 + 5 = 0; в) 𝑥² + 16 + 48 = 0.

Решение.

а) Здесь , следовательно, уравнение имеет два равных корня.

б) Здесь 𝑝 = -2 и 𝑞 = 5, так как , то уравнение не имеет действительных корней.

в) Здесь 𝑝 = 16 и 𝑞 = 48, так как , то уравнение имеет два различных действительных корня.

Пример 2. При каком значении 𝑘 уравнение 𝑥² + 𝑘𝑥 + 15 = 0 имеет корень, равный 5.

Решение.

5² + 𝑘 ·5 + 15 = 0; 25 + 5𝑘 + 15 = 0, 5𝑘 = -40; 𝑘 = -8.

Ответ. При 𝑘 = -8.

Пример 3. При каких значениях 𝑎 следующие уравнения имеют по два равных действительных корня:

а) 𝑥² + 𝑎𝑥 + 9 = 0; б) 𝑥² + 12𝑥 + а = 0; в) 𝑥² + 2(𝑎 - 4) 𝑥 + а² + 6𝑎 + 3 = 0.

Решение.

а) Уравнение 𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 имеет равные корни при условии . В нашем случае 𝑝 = 𝑎, 𝑞 = 9. Следовательно,

б)

в)

4. Полное квадратное уравнение общего вида. Квадратное уравнение вида 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 можно решать по формуле корней приведенного уравнения, если данное уравнение предварительно разделить на 𝑎 (𝑎 ≠ 0). Однако можно пользоваться и специальной формулой:

Эта формула читается так: корень полного квадратного уравнения общего вида равен дроби, числителем которой есть коэффициент при неизвестном в первой степени, взятый с противоположным знаком, плюс или минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения коэффициента при неизвестном второй степени на свободный член, а знаменателем есть удвоенный коэффициент при неизвестном второй степени.

Выражение 𝑏² - 4𝑎𝑐, входящее в этой формуле под радикал, называют дискриминантом квадратного уравнения общего вида.

Если 𝑏² - 4𝑎𝑐 > 0, уравнение имеет два разных действительных корня.

Если 𝑏² - 4𝑎𝑐 = 0, уравнение имеет два одинаковых корня:

Если 𝑏² - 4𝑎𝑐 < 0, уравнение не имеет корней (действительных).

На следующих примерах показано, как можно применять общую формулу корней для решения квадратных уравнений.

Пример. Решить уравнение 3𝑥² + 11𝑖 + 6 = 0.

Решение. Здесь 𝑎 = 3, 𝑏 = 11, 𝑐 = 6. По формуле имеем:

Пример. Решить уравнение

Решение.

Примечание. По общей формуле можно решать также и квадратные уравнения приведенного вида.

Если 𝑏 - четное число, то лучше представить общую формулу в виде

Пример. Решить уравнения:

а) 3𝑖² - 14𝑖 - 80 = 0; б) 𝑎𝑥² - 2(𝑎 + 𝑏) 𝑥 + 46 = 0.

Решение.

а) Здесь 𝑎 = 3, 𝑏 = -14, 𝑐 = -80. Подставив в формулу значения коэффициентов, получим

б) По формуле имеем:

Пример. Не решая уравнений, определить, сколько действительных корней имеет каждое из них:

а) 4𝑖² + 6𝑖 + 9 = 0; б) 2𝑖² - 3𝑖 + 1 = 0.

Решение.

а) 𝑏² - 4𝑎𝑐 = 6² - 4 · 4 · 9 = 36 - 144< 0. Уравнение не имеет действительных корней.

б) (-3)² - 4 · 2 · 1 = 9 - 8 > 0. Уравнение имеет два действительных различных корня.

Пример. При каком значении 𝑘 уравнение 𝑘𝑥² + 12𝑖 - 3 = 0 имеет корень, равный ?

Решение.

Пример. При каком значении 𝑎 уравнение

𝑎𝑥² + 4𝑥 + 1 = 0.

имеет два равных корня?

Решение. Уравнение имеет два равных корня при условии, что его дискриминант равен нулю. В нашем случае 4² - 4 · 1 · 𝑎 = 0, откуда 𝑎 = 4.

5. Зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения. Между коэффициентами и корнями приведенного квадратного уравнения 𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 существуют такие зависимости:

а) Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при неизвестном в первой степени, взятом с противоположным знаком, т.е.

𝑖1 + 𝑥2 = - 𝑝.

б) Произведение корней этого уравнения равно свободному члену, т.е.

𝑖1 · 𝑖2 = 𝑞.

Эти зависимости известны под названием теоремы Виета.

Примеры.

а) Уравнение 𝑥² + 2𝑥 - 80 = 0 имеет корни 𝑖1 = 8, 𝑖2 = -10, 𝑥1 + 𝑥2 = 8 - 10 = -2, 𝑖1 𝑖2 = 8(-10) = -80.

б) Уравнение 𝑥² + 9𝑥 + 14 = 0 имеет корни 𝑖1 = -2, 𝑖2 = -7, 𝑖1 + 𝑖2 = -2 + (-7) = -9; 𝑖1 𝑖2 = (-2)(-7) = 14.

Правильно и обратное утверждение: если сумма двух чисел 𝑖1 и 𝑖2 равна - 𝑝, а их произведение равно 𝑞, то эти числа являются корнями квадратного уравнения

𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0.

Для случая полного квадратного уравнения неприведенного вида существуют зависимости:

Например, уравнение 4𝑥² + 25𝑖 - 21 = 0 имеет корни:

Эти утверждения дают возможность составлять квадратные уравнения, которые имели бы наперед заданные корни, а также решать много других задач на составление и исследование квадратных уравнений.

Пример 1. Составить квадратное уравнение, имеющее корни 5 и -6.

Решение. Здесь 𝑖1 + 𝑖2 = 5 + (-6) = -1, 𝑖1 𝑖2 = -30; следовательно, 𝑝 = 1, 𝑞 = -30. Получаем уравнение

𝑖² + 𝑖 - 30 = 0.

Пример 2. Составить квадратное уравнение, корни которого были бы обратными корням уравнения 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

Решение. Перепишем уравнение 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 == 0 так: и пусть его корнями будут 𝑖1 и 𝑖2. Тогда

и

По условию, корнями искомого уравнения будут и . Чтобы получить его коэффициенты, вычислим

Уравнение будет иметь вид:

или

𝑐𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0.

Пример 3. Не решая уравнение 𝑖² + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0, выразить сумму квадратов его корней через 𝑝 и 𝑞.

Решение. По теореме Виета: 𝑖1 + 𝑖2 = - 𝑝 и 𝑖1 𝑖2 = 𝑞

Пример 4. Известно, что 𝑖1 и 𝑖2 - корни уравнения 𝑖² + 3𝑖 + 𝑚 = 0. При каком значении 𝑚 разность корней данного уравнения будет равна 6?

Решение. Имеем:

𝑖1 + 𝑖2 = -3, 𝑖1 𝑖2 = 𝑚,

отсюда

Складывая почленно равенства, получаем

или

(𝑖1 - 𝑖2)² = 9 - 4𝑚.

Тогда 6² = 9 - 4𝑚, значит .

23. Задачи на составление квадратных уравнений

Задача 1. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 кв. м.

Решение. Пусть одна сторона прямоугольника 𝑥, тогда другая будет 𝑥 + 10. По условию имеем:

𝑥 (𝑥 + 10) = 1200.

Следовательно, получили квадратное уравнение:

𝑥² + 10𝑖 - 1200 = 0.

Решая его, получаем:

𝑥₁ = 30, 𝑥 ₂ = -40.

Второе решение уравнения не принимаем во внимание, так как длина стороны прямоугольника не может выражаться отрицательным числом. Поэтому длина изгороди

2𝑥 + 2(𝑥 + 10) = 2 · 30 + 2(30 + 10) = 140 (м).

Ответ. 140 м.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2021 контакт: koshka@cartalana.org