ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

Задача. Два трактора различной мощности при совместной работе вспахали за 15 ч всего поля. Если бы первый трактор работал один 12 ч, а второй трактор - 20 ч, то они вспахали бы 20% всего поля. За сколько времени может вспахать все поле каждый трактор отдельно?

Решение. Площадь поля принимаем за единицу. Пусть первый трактор вспашет все поле за 𝑥 часов, а второй - за 𝑦 часов. Тогда производительность первого будет равна , а второго . По условию задачи имеем: (так как ). Решив систему уравнений, получим 𝑥 = 360, 𝑦 = 120.

Ответ. 360 ч и 120 ч.

Задача. Из двух мест, расстояние между которыми 650 км, отправляются два поезда навстречу друг другу. Если оба поезда тронутся с места одновременно, то они встретятся через 10 ч. Если же второй поезд отправится на 4 ч и 20 мин раньше первого, то встреча произойдет через 8 ч после отправления первого. Определить среднюю скорость каждого поезда.

Решение. Пусть скорость первого поезда 𝑥 (км/ч), скорость второго 𝑦 (км/ч), тогда в первом случае первый поезд пройдет до встречи 10𝑖 (км), второй 10𝑦 (км). Следовательно, 10𝑥 + 10𝑦 = 650. Во втором случае первый поезд пройдет до встречи 8𝑖 (км), а второй, который шел ч, пройдет (км). Следовательно, .

Решив систему уравнений

получим: 𝑥 = 35, 𝑦 = 30.

Ответ. 35 км/ч и 30 км/ч.

Задача. Два поезда отправляются одновременно навстречу друг другу со станций 𝑎 и 𝐵, расстояние между которыми 600 км. Первый из них приходит на станцию 𝐵 на 3 ч раньше, чем второй на станцию 𝑎. В то время как первый проходит 250 км, второй пройдет 200 км. Найти скорость каждого поезда.

Решение. Пусть скорость первого поезда 𝑥 (км/ч), второго 𝑦 (км/ч). Расстояние в 600 км первый поезд проходит за ч, а второй - за ч. Согласно условию, запишем систему уравнений

решив которую получим 𝑥 = 50 (км/ч); 𝑦 = 40 (км/ч).

Ответ. 50 км/ч и 40 км/ч.

Задача. Расстояние между селами по шоссе 19 км. Из села 𝑎 в село 𝐵 выехал велосипедист с некоторой постоянной скоростью; через 15 мин после него в том же направлении выехал автомобилист. Через 10 мин после выхода он нагнал велосипедиста и продолжал путь до 𝐵, где, не останавливаясь, повернул обратно и через 50 мин после своего выхода из 𝑎 встретил велосипедиста вторично. Определить скорости автомобиля и велосипедиста.

Решение. Пусть скорость велосипедиста 𝑖 (км/мин), автомобилиста - 𝑦 (км/мин). Автомобилист пробыл в пути 10 мин, а велосипедист 10 + 15 = 25 (мин), когда его догнал автомобилист. В этот момент расстояния, пройденные ими, были одинаковы. Следовательно, 25𝑖 = 10𝑦. Когда на обратном пути автомобилист встретил велосипедиста, автомобилист прошел уже 50𝑦 (км), а велосипедист 65𝑖 (км). Эти расстояния в сумме дают двойное расстояние между селами 𝑎 и 𝐵. Поэтому 65𝑖 + 50𝑦 = 38. Решив систему уравнений 25𝑖 = 10𝑦 и 65𝑖 + 50𝑦 = 38, найдем: 𝑖 = 0,2 (км/мин), 𝑦 = 0,5 (км/мин).

Ответ. 0,5 км/мин и 0,2 км/мин.

Задача. По окружности движутся два тела; первое пробегает окружность на 5 сек скорее второго. Когда они движутся по одному направлению, то встречаются через каждые 100 сек. Какую часть окружности (в градусах) пробегает каждое тело в 1 сек?

Решение. Пусть в 1 сек первое тело пробегает дугу в 𝑖 (градусов), а второе 𝑦 (градусов). Из первого условия находим . Каждую секунду расстояние между телами (по дуге) увеличивается на 𝑖 - 𝑦 (градусов). За время, протекающее от одной встречи к другой (т.е. за 100 сек), расстояние должно увеличиться на 360°. Поэтому 100(𝑖 - 𝑦 = 360. Полученная система имеет два решения 𝑖1 = 18, 𝑦1 = 14,4; 𝑖2 = -14,4, 𝑦2 = -18. Оба они пригодны, но физический смысл их один и тот же (меняются только номера тел и направление движения).

Ответ. Первое тело за 1 сек пробегает 18°, второе 14°24'.

Задача. Велосипедист прибыл из пункта 𝑎 в пункт 𝐵 в назначенное время, двигаясь с определенной скоростью. Если бы он увеличил эту скорость на 3 км/ч, то прибыл бы на место на час раньше срока, а если бы он проезжал в час на 2 км меньше, чем в действительности, то он опоздал бы на час. Определить расстояние между пунктами 𝑎 и 𝐵, скорость велосипедиста и время его движения.

Решение. Неизвестное расстояние обозначим через 𝑆, скорость велосипедиста 𝑣 и время его движения 𝑡.

Используем табличную запись решения.

Имеем систему трех уравнений (нелинейных) с тремя неизвестными

Этапы
Первый
Второй
Третий
Путь (км)
𝑆
𝑆
𝑆
Скорость (км/ч)
𝑣
𝑣 + 3
𝑣 - 2
Время (ч)
𝑡
𝑡 - 1
𝑡 + 1

Эту систему можно привести к системе линейных уравнений:

из 𝑣𝑡 = (𝑣 + 3)·(𝑡 - 1) и 𝑣𝑡 = (𝑣 - 2)·(𝑡 + 1)

следует

Решив эту систему уравнений, получим 𝑡 = 5, 𝑣 = 12. Тогда 𝑆 = 12 · 5 = 60 (км).

Ответ. 60 км, 12 км/ч, 5 ч.

22. Квадратные уравнения

1. Общие понятия. Уравнение вида 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, где 𝑥 - неизвестное, а коэффициенты 𝑎, 𝑏 и 𝑐 - данные числа, называется квадратным уравнением. В квадратном уравнении 𝑎 ≠ 0, так как в противном случае оно было бы уравнением первой степени: 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. В то же время 𝑎 может быть и положительным, и отрицательным. Если 𝑎 < 0, то умножив обе части уравнения на -1, получим уравнение с положительным коэффициентом при 𝑥². Коэффициент 𝑐 называется свободным членом, 𝑎𝑥² - старшим членом, 𝑏𝑥 - членом, содержащим первую степень неизвестного.

Если 𝑏 ≠ 0 и 𝑐 ≠ 0, то уравнение 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 называется полным квадратным уравнением общего вида.

Разделив все члены его на 𝑎 (а ≠ 0), получим

Полагая , имеем уравнение

𝑖² + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0,

которое называется полным квадратным уравнением приведенного вида или приведенным квадратным уравнением. Если же хотя бы один из коэффициентов 𝑏 или 𝑐 равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

а) если 𝑏 = 0, 𝑐 ≠ 0, то 𝑎𝑥² + 𝑐 = 0;

б) если 𝑏 ≠ 0, 𝑐 = 0, то 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 = 0;

в) если 𝑏 = 0, 𝑐 = 0, то 𝑎𝑥² = 0.

2. Решение неполных квадратных уравнений.

а) Уравнения вида 𝑎𝑥² + 𝑐 = 0 и 𝑎𝑥² = 0.

Чтобы решить уравнение вида 𝑎𝑥² + 𝑐 = 0, переносим свободный член в правую часть и находим значение 𝑥² и .

Если коэффициенты 𝑎 и 𝑐 одного знака, то уравнение 𝑎𝑥² + 𝑐 = 0 в области действительных членов не имеет решений, так как квадрат действительного числа не может быть равный отрицательному числу . Если же 𝑎 и 𝑐 противоположных знаков, то уравнение 𝑎𝑥² + 𝑐 = 0 всегда имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример. Решить уравнение.

2𝑖² - 32 = 0.

Решение.

2𝑖² = 32,

𝑥² = 16,

Ответ. 𝑥1 -4, 𝑥2 = -4.

Пример. Решить уравнение 2𝑥² + 8 = 0.

Решение. 𝑥² = -4.

В области действительных чисел уравнение не имеет решения.

Если 𝑎 и 𝑐 противоположных знаков, то уравнение 𝑎𝑥² + 𝑐 = 0 можно решить и путем разложения на множители.

Пример.

2𝑥² - 9 = 0, (2𝑥 - 3)(2𝑥 + 3) = 0;

Уравнение 𝑎𝑥² = 0 имеет равные между собой корни: 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0.

б) Уравнение вида 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 = 0. Чтобы решить уравнение 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 = 0, надо его левую часть разложить на множители:

𝑥 (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0. Тогда или 𝑥 = 0, или 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, откуда .

Итак, уравнение 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 𝑥² - 12𝑖 = 0.

Решение.

𝑥 (𝑥 - 12) = 0, 𝑥1 = 0,

𝑥 - 12 = 0, 𝑥2 = 12.

Пример 2. Решить уравнение 47 - 𝑥 (3𝑖 + 4) = 2(17 - 2𝑥) - 62.

Решение.

Пример 3. Решить уравнение

Решение.

Ответ. Уравнение не имеет решений (в области действительных чисел).

Пример 4. Решить уравнение 10(𝑥 - 2) + 19 = (5𝑖 - 1)(1 + 5𝑖).

Решение.

Ответ. .

3. Приведенное квадратное уравнение.

а) Решение квадратного уравнения путем выделения полного квадрата двучлена. Пусть надо решить уравнение 𝑥² + 14𝑥 + 24 = 0.

Разложим левую часть на множители, выделив из выражения 𝑥² + 14𝑖 + 24 полный квадрат двучлена. Первый член есть квадрат числа 𝑥 (первого числа), второй член (14𝑖) можно рассматривать, как удвоенное произведение первого числа 𝑥 на второе число, равное 7, так как 14𝑖 = 2 · 𝑖 · 7. Чтобы получить полный квадрат двучлена, прибавим квадрат второго числа 7² = 49, а чтобы численное значение не изменилось, вычтем это же число 49. Получим:

(𝑥² + 14𝑖 + 49) - 49 + 24 = 0, или (𝑖 + 7)² - 25 = 0.

Разложив левую часть на множители, получим

(𝑖 + 7 + 5)(𝑖 + 7 - 5) = 0, или (𝑖 + 12)(𝑖 + 2) = 0.

Итак, уравнение 𝑖² + 14𝑖 + 24 = 0 равносильно такому:

(𝑖 + 12)(𝑖 + 2) = 0,

отсюда

(𝑖 + 2) = 0; 𝑖1 = - 2; 𝑥 + 12 = 0: 𝑥 = -12.

Пример. Решить уравнения путем выделения полного квадрата двучлена:

а) 𝑥² + 8𝑖 - 33 = 0; б) 𝑥² - 11𝑥 + 30 = 0.

Решение.

а) 𝑥² + 2 · 4 · 𝑥 + 16 - 16 - 33 = 0, или

(𝑥 + 4)² - 49 = 0, (𝑥 + 4 - 7)(𝑥 + 4 + 7) = 0,

(𝑥 - 3)(𝑥 + 11) = 0.

Отсюда

𝑥 - 3 = 0, 𝑖1 = 3; 𝑥 + 11 = 0, 𝑖2 = -11.

Отсюда 𝑥 - 6 = 0, 𝑥1 = 6; 𝑥 - 5 = 0, 𝑥2 = 5.

б) Формула корней приведенного квадратного уравнения. С помощью выделения полного квадрата двучлена в уравнении 𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 при любых 𝑝 и 𝑞 получают общую формулу для корней приведенного квадратного уравнения:

выражающую зависимость корней от коэффициентов.

Формула читается так: корень приведенного квадратного уравнения равен половине коэффициента при неизвестном в первой степени, взятом с противоположным знаком, плюс - минус квадратный корень из квадрата половины этого коэффициента без свободного члена.

По этой формуле можно определить действительные корни приведенного уравнения только в случае, когда выражение (оно называется дискриминантом приведенного квадратного уравнения) неотрицательно, т.е. когда . Если , то данное уравнение 𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 имеет два разных корня.

Если , то данное уравнение не имеет действительных корней.

Если , то оба корня равны:

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org