ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

18. Решение задач с помощью уравнений первой степени с одним неизвестным

Чтобы решить задачу с помощью уравнения, необходимо:

1) выбрать неизвестное и обозначить его буквой; 2) выразить остальные неизвестные при помощи этой буквы; 3) составить уравнение; 4) решить уравнение; 5) проверить полученное решение и ответ по условию задачи. Дальше для примера приведены решения нескольких задач с помощью составления уравнений первой степени.

Задача 1. На первом складе было 185 т угля, а на втором - 237 т. Первый склад начал отпускать ежедневно по 15 т угля, а второй - по 18 т. Через сколько дней на втором складе будет угля в полтора раза больше, чем на первом?

Решение (с объяснением). Предположим, что через 𝑥 дней на втором складе будет угля в полтора раза больше, чем на первом. Первый склад отпускал ежедневно по 15 т угля, поэтому за 𝑥 дней с первого склада было выдано угля 5𝑖 (т). Значит, на первом складе осталось угля 185 - 5𝑥 (т). Второй склад отпускал ежедневно по 18 т, поэтому за 𝑥 дней со второго склада было выдано угля 18𝑖 (т). На втором складе осталось угля 237 - 18𝑖 (т). По условию задачи остаток угля на втором складе в полтора раза больше, чем на первом.

Составляем уравнение:

откуда

474 - 36𝑖 = 555 - 45𝑖; -36𝑖 + 45𝑖 = 555 - 474; 9𝑖 = 81; 𝑖 = 9.

Проверка. 1) За 9 дней было выдано угля: с первого склада 15 · 9 = 135 (т); со второго склада 18 · 9 = 162 (т); 2) осталось угля на первом складе 185 - 135 = 50 (т); на втором складе 237 - 162 = 75 (т); остаток угля на втором складе в полтора раза больше, чем на первом. Задача решена верно. Ответ. 9 дней.

Задача 2. Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если к этому числу прибавить 63, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но написанное в обратном порядке. Найти это число.

Решение. Обозначим число единиц в искомом числе 𝑖, тогда число десятков будет 11 - 𝑖 и искомое число примет вид (11 - 𝑖)10 + 𝑖. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет

10𝑖 + (11 - 𝑖).

Составим уравнение: (11 - 𝑖) 10 + 𝑖 + 63 = 10𝑖 + 11 - 𝑖, решение которого 𝑖 = 9 даст единицы искомого числа. Число десятков составит 11 - 𝑖 = 2. Число будет 29. Ответ. 29.

Задача 3. В трех ящиках имеется 64,2 кг сахара. Во втором ящике находится того, что есть в первом, в третьем - % того, что есть во втором. Сколько сахара в каждом ящике?

Решение. Обозначим вес сахара в первом ящике (в кг) через 𝑥. Тогда вес сахара во втором ящике будет , или 0,8𝑖, а в третьем .

Составим уравнение:

𝑖 + 0,8𝑖 + 0,34𝑖 = 64,2,

отсюда 𝑖 = 30, тогда

= 24 и 0,34𝑖 = 10,2.

Ответ. 30 кг, 24 кг и 10,2 кг.

Задача 4. За семичасовый рабочий день токарь должен был по норме обточить некоторое количество деталей. Применив новый резец, токарь стал в каждый час обтачивать на 4 детали больше, чем полагалось в 1 ч по норме, а потому за 6 ч работы выполнил 1,2 дневной нормы. Сколько деталей в час обтачивает токарь, применяя новый резец?

Решение. Обозначим количество деталей, обрабатываемых токарем в 1 ч, буквой 𝑥. Тогда его дневная норма при семичасовом рабочем дне будет 7𝑥. С применением нового резца он обрабатывает за 1 ч 𝑥 + 4 деталей, за 6 ч работы он обрабатывает 6(𝑖 + 4). Составим уравнение: 6(𝑖 + 4) = 1,2 · 7𝑥; 𝑥 = 10; 𝑥 + 4 = 14. Ответ. 14 деталей.

Задача 5. Двумя экскаваторами вырыли котлован для колхозной электростанции за 24 дня. Первым экскаватором можно было бы выполнить эту работу в раза быстрее, чем вторым. За сколько дней каждым из экскаваторов отдельно можно выполнить всю работу?

Решение. Обозначим через 𝑥 дней время, за которое первый экскаватор мог бы выполнить всю работу; 1,5𝑖 дней - время, за которое вторым экскаватором можно было бы выполнить всю работу.

Первым экскаватором за 1 день выполняли - часть работы; вторым экскаватором за 1 день выполняли часть работы. Оба экскаватора за 1 день выполняли часть работы.

Составим уравнение:

Решение уравнения 𝑥 = 40 дает количество дней, в течение которых первым экскаватором можно было бы выполнить всю работу. Вторым экскаватором можно выполнить эту работу за 40 · 1,5 = 60 дней.

Ответ. 40 дней и 60 дней.

Задача 6. Одной автомашиной можно перевезти некоторый груз за 18 ч, а второй - за 24 ч. Перевозку груза начали двумя машинами одновременно. Через несколько часов вторую машину перевели на другую работу, а остаток груза перевозили только первой автомашиной в течение 4 ч. Сколько часов работала первая автомашина?

Решение. Обозначим буквой 𝑥 (ч) время, в течение которого работала вторая автомашина; 𝑥 (ч) есть также время, в течение которого работали обе машины одновременно. За 1 ч первой машиной можно перевезти часть груза, а второй - . Двумя машинами за 1 ч перевезли часть груза, а за 𝑥 часов - часть груза. Первая машина перевезла оставшийся груз за 4 ч, следовательно, за это время она перевезла частей груза.

Учитывая, что весь груз составляет условную единицу, получим уравнение:

Решение уравнения 𝑥 = 8 (ч) дает время совместной работы обеих машин. Тогда, первая машина работала 8 + 4 = 12 (ч). Ответ. 12 ч.

Задача 7. Турист шел из деревни на железнодорожную станцию. Пройдя за первый час 3 км, он рассчитал, что, если будет двигаться с той же скоростью, то опоздает к поезду на 40 мин. Поэтому остальной путь он прошел со скоростью 4 км/ч и прибыл на станцию за 45 мин до отхода поезда. Каково расстояние от деревни до станции?

Решение. Пусть расстояние от деревни до станции равно 𝑥 (км). Если бы турист шел все время со скоростью 3 км/ч, то он потратил бы на путь ч, что на больше, чем было в его распоряжении. Таким образом, чтобы успеть точно к отходу поезда, он должен был потратить времени ч. В действительности же он за первый час прошел 3 км, а оставшиеся (𝑥 - 3) км прошел со скоростью 4 км/ч за ч. Весь же путь он прошел за ч.

Принимая во внимание, что турист пришел за ч до отхода поезда, составим уравнение

Решение уравнения 𝑥 = 20 и дает искомое расстояние.

Ответ. 20 км.

Задача 8. Ежедневно в 12 ч дня от пристани 𝑎 к пристани 𝐵 отправляется по реке пассажирский катер. Весь путь от 𝑎 до 𝐵 катер проходит без остановки со скоростью 12 км/ч. Затратив на стоянку у пристани 𝐵 2,5 ч, катер отправляется обратно и, пройдя весь путь без остановки со скоростью 15 км/ч, прибывает к пристани 𝑎 в 19 ч того же дня. Найти расстояние от 𝑎 до 𝐵.

Решение. Пусть расстояние от 𝑎 до 𝐵 равно 𝑥 (км). Тогда время движения катера от 𝑎 к 𝐵 будет ч, а от 𝐵 к 𝑎 ч. Катер возвратился в пункт 𝑎 через 19 - 12 = 7 ч, из них 2,5 ч стоянка, поэтому он был в пути 7 - 2,5 = 4,5 ч.

Отсюда получаем уравнение

решение которого 𝑥 = 30 (км) дает искомое расстояние.

Ответ. Расстояние между 𝑎 и 𝐵 30 км.

Задача 9. Кусок железа и кусок меди весят вместе 1280 г, причем объем куска меди вдвое больше объема куска железа. Найти объем каждого куска, если удельный вес железа 7,8 г/см³, а удельный вес меди 8,9 г/см³.

Решение. Обозначим объем (в куб. см) куска железа через 𝑥, тогда объем куска меди равен 2𝑥. Вес железа 𝑥 · 7,8, а меди 2𝑖 · 8,9.

Составим уравнение: 7,8𝑖 + 17,8𝑖 = 1280. Его решение 𝑖 = 50 дает объем куска железа. Тогда объем куска меди равен 100 куб. см.

Ответ. 50 куб. см и 100 куб. см.

Задача 10. Имеются два сплава золота и серебра; в одном количество этих металлов находится в отношении 2:3, в другом - в отношении 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11?

Решение. Обозначим буквой 𝑥 вес первого сплава в кг, тогда вес второго будет (8 - 𝑥) кг. Золота в первом кг и серебра кг. В (8 - 𝑥) кг второго сплава содержится кг золота и кг серебра.

Составив уравнение по условию задачи, получим:

Его решение 𝑖 = 1 (кг) дает вес первого сплава. Вес второго сплава 8 - 𝑥 = 7 (кг).

Ответ. 1 кг и 7 кг.

19. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

1. Уравнение первой степени с двумя неизвестными. Если в уравнении с двумя неизвестными каждый член содержит только одно из неизвестных и при том в первой степени или же совсем не содержит неизвестных, то такое уравнение называется уравнением первой степени с двумя неизвестными. В общем виде оно записывается так: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, где 𝑥 и 𝑦 - неизвестные числа, а коэффициенты 𝑎, 𝑏, 𝑐 - известные (параметры).

Примеры таких уравнений:

5𝑖 - 2𝑥 + 3 = 2𝑥 + 𝑦 - 1;

8𝑖 - 1,3𝑦 = 15; ; 𝑦 = 4𝑖 - 9.

Любая пара допустимых значений х и у, удовлетворяющая уравнению, называется решением этого уравнения. Так, например, значения 𝑥 = 1, 𝑦 = 14 или 𝑥 = 2, 𝑦 = 13 будут решениями уравнения 𝑥 + 𝑦 = 15.

Одно уравнение с двумя неизвестными первой степени имеет бесконечное множество решений. Так, в уравнении 𝑥 + 𝑦 = 15 неизвестное х может принимать любые значения, и для каждого из них имеется соответствующее значение 𝑦, например:

𝑖1 = 1, 𝑦1 = 14; 𝑥2 = 2, 𝑦2 = 13; 𝑖3 = 100, 𝑦3 = -85 и т.д.

Для уравнения первой степени с двумя неизвестными имеют место те же свойства, что и для уравнения с одним неизвестным. Используя их, каждое такое уравнение можно привести к нормальному виду (т.е. к виду 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐).

Пример.

84 + 3(𝑖 - 3𝑦) = 24𝑖 - 4(𝑦 + 5);

84 + 3𝑖 - 9𝑦 = 24𝑖 - 4𝑦 - 20;

3𝑖 - 9𝑦 - 24𝑖 + 4𝑦 = -20 - 84;

-21𝑖 - 5𝑦 = -104 или 21𝑖 + 5𝑦 = 104.

2. Системы уравнений с двумя неизвестными. Если находят общие решения двух или нескольких уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему. В системе уравнений каждое неизвестное означает одно и то же число во всех уравнениях.

Чтобы показать, что данные уравнения образуют систему, их обычно записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой, например

Каждая пара значений неизвестных, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям системы, называется решением системы. Например, приведенную выше систему уравнений удовлетворяет пара чисел 𝑖 = 15, 𝑦 = 5. Это и есть решение данной системы. Других решений она не имеет. Существуют системы уравнений, имеющие бесконечное множество решений, а также системы, вовсе не имеющие решений. Система, не имеющая решений, называется несовместимой.

Примечание. Называть решение системы корнями нельзя.

Решить систему - это значит найти все решения этой системы или показать, что она не имеет их.

Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если все решения одной из них являются решениями другой и, наоборот, все решения другой системы являются решениями первой. Например, решением системы

является пара чисел 𝑥 = 4 и 𝑦 = 3. Эти же числа являются также решением системы

(Это легко проверить, подставив значения 𝑥 = 4 и 𝑦 = 3 в оба уравнения системы). Следовательно, рассматриваемые системы уравнений равносильны.

Две несовместимые системы уравнений также считаются равносильными. Две равносильные системы уравнений могут состоять из одинакового и разного количества уравнений. В частности, система уравнений может быть равносильна одному уравнению. Понятие равносильности систем уравнений является относительным: две системы уравнений равносильны в одном числовом множестве и не равносильны - в другом.

Наиболее важным приемом решения систем уравнений является переход от данной системы к другой, равносильной данной, но более простой. Поэтому важно знать приемы получения новых систем уравнений, равносильных данной. В основе этих приемов лежат следующие теоремы.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org