ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

5. Теоремы о равносильных уравнениях.

Теорема 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и тоже число или многочлен, то новое уравнение будет равносильно данному.

Так уравнение 2𝑥 - 1 = 7 имеет корень 𝑥 = 4; прибавив к обеим частям по 5, получим уравнение 2𝑥 + 4 = 12, которое имеет тот же корень 𝑥 = 4.

Следствия из первой теоремы:

а) Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно опустить.

Так, уравнение 9𝑥 + 5𝑖 = 18 + 5𝑖 имеет один корень 𝑥 = 2, опустив в обеих частях 5𝑖, получим уравнение 9𝑥 = 18, которое имеет тот же корень 𝑥 = 2.

б) Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, переменив его знак на противоположный.

Так, уравнение 7𝑖 - 11 = 3 имеет один корень 𝑥 = 2, перенеся 11 в правую часть с противоположным знаком, получим уравнение 7𝑖 = 3 + 11, которое имеет то же решение 𝑥 = 2.

Теорема 2. Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, не равное нулю, то новое уравнение будет равносильно данному (Верны также более общие теоремы).

Пример. Уравнение 2𝑖 - 15 = 10 - 3𝑥 имеет корень 𝑖 = 5, Умножив обе части на 3, получим

(2𝑖 - 15) · 3 = (10 - 3𝑥) · 3, или 6𝑖 - 45 = 30 - 9𝑥,

которое имеет тот же корень 𝑥 = 5.

Деление на какое-либо число, отличное от нуля, можно рассматривать как умножение на число, ему обратное. Поэтому обе части уравнения можно также и разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Пример. Уравнение 12𝑖² - 3 = 6𝑖 + 33 имеет два корня: 𝑥1 = 2 и 𝑥2 = -1,5.

Разделив все его члены на 3, получим уравнение 4𝑖² - 1 = 2𝑖 + 11, равносильное данному, так как оно имеет те же два корня: 𝑥1 = 2 и 𝑥2 = -1,5.

Следствия из второй теоремы:

а) Знаки всех членов уравнения можно изменить на противоположные (это равносильно умножению обеих частей уравнения на -1).

Пример. Уравнение -3𝑖 + 7 = -8 после умножения обеих частей на -1 примет вид: 3𝑖 - 7 = 8. Первое и второе уравнения имеют единственный корень 𝑥 = 5.

б) Уравнение, в котором коэффициенты всех или некоторых членов дробные числа, можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами (для этого обе части уравнения надо умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробных коэффициентов).

Пример. Уравнение после умножения обеих его частей на 14 принимает вид:

Легко убедиться в том, что первое и последнее уравнения удовлетворяются только при 𝑥 = 10.

Теорема 1. К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному
Теорема 2. Обе части уравнения можно умножить на любое выражение, имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях неизвестного, полученное уравнение будет равносильно данному

в) Уравнение можно сократить (разделить все его члены на одно и то же число).

Пример. Уравнение 75𝑖² - 200𝑖 = 900 + 60𝑖² - 50𝑖 можно сократить на 5. Тогда получим уравнение 15𝑖² - 40𝑖 = 180 + 12𝑖² - 10𝑖, равносильное данному.

Примечание. Иногда приходится умножать обе части уравнения на какое-нибудь выражение, содержащее неизвестное. В результате этого может получиться уравнение, не равносильное данному.

Примеры. Пусть дано уравнение 2𝑖 - 1 = 5, имеющее один корень х = 3. Если умножить обе части этого уравнения на 𝑥 - 2, получим новое уравнение (2𝑖 - 1)(𝑥 - 2) = 5(𝑖 - 2), не равносильное данному, так как, кроме корня 𝑥 = 3, оно имеет еще один 𝑥 = 2, который данное уравнение не удовлетворяет. Если бы обе части данного уравнения умножили на , то получили бы уравнение , которое вообще не имеет корней и, следовательно, тоже не равносильное данному.

Рассмотренные теоремы (их называют также свойства уравнений) и следствия из них дают возможность сравнительно легко решать многие уравнения. Ведь, преобразуя уравнение согласно упомянутым свойствам и следствиям, мы каждый раз получаем новое, более простое, уравнение, равносильное данному. Таким способом можно прийти к очень простому уравнению, корни которого определить нетрудно. А так как полученное уравнение равносильно данному, то и корни его есть не что иное как корни данного уравнения.

Дальше рассмотрим, как решать различные виды уравнений.

17. Уравнения первой степени

1. Определение. Уравнением первой степени с одним неизвестным называют каждое уравнение, в одной части которого есть многочлены первой степени относительно одного неизвестного, а во второй - тоже многочлен первой степени относительно этого же неизвестного или какое-нибудь число.

Примеры.

Каждое уравнение первой степени с одним неизвестным 𝑥 можно привести к виду

𝑎𝑥 = 𝑏.

Разделив обе части этого уравнения на 𝑎 (если 𝑎 ≠ 0), получим единственное решение: .

Если 𝑎 = 0, то уравнение не имеет решений (при 𝑏 ≠ 0) или имеет их бесконечно много (при 𝑏 = 0).

2. Общая схема решения уравнений первой степени. Пусть надо решить такое уравнение:

Решение.

а) Умножим все члены на наименьшее общее кратное знаменателей, которое равно 12. Произведя сокращения, получаем:

4(𝑖 - 4) + 6(𝑖 + 1) - 12 = 30(𝑖 - 3) + 24𝑖 - 2(11𝑥 + 43).

б) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестное и свободные члены, раскроем скобки:

4𝑖 - 16 + 6𝑖 + 6 - 12 = 30𝑖 - 90 + 24𝑖 - 22𝑖 - 86.

в) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой - свободные члены:

4𝑖 + 6𝑖 - 30𝑖 - 24𝑖 + 22𝑖 = -90 - 86 + 16 - 6 + 12.

г) Приведем подобные члены:

-22𝑖 = -154.

д) Разделим обе части на -22. Получим:

𝑥 = 7.

Как видим, корень полученного уравнения, а значит и данного, равен 𝑖 = 7.

Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены - в другой;

г) привести подобные члены;

д) решить уравнение вида 𝑎𝑥 = 𝑏, которое получили после приведения подобных членов.

Однако эта схема не может быть обязательной для всякого уравнения. Во-первых, при решении многих, более простых, уравнений приходится начинать не с первого, а со второго, третьего и даже сразу с пятого этапа. Во-вторых, при решении некоторые промежуточные этапы могут оказаться ненужными. В-третьих, иногда бывает выгоднее нарушить порядок, указываемый схемой, так как уравнение тогда решается проще и короче.

Аналогично можно решать и уравнения первой степени с одним неизвестным с буквенными коэффициентами.

Примеры:

3. Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе. К уравнениям первой степени приводятся многие дробные уравнения с одним неизвестным. Чтобы решить такое уравнение, часто приходится умножать обе части на выражение, содержащее неизвестное, а это может привести к нарушению эквивалентности уравнений. Поэтому при решении этих уравнений надо все полученные корни проверять подстановкой в начальное уравнение. Корни, не удовлетворяющие начальному уравнению, надо отбросить как посторонние.

Примеры.

а) Решить уравнение

Решение. Разлагая 𝑥² + 𝑥 - 2 на множители, получаем: 𝑥² + 𝑥 - 2 = (𝑖 - 1)(𝑥 + 2). Следовательно, 𝑥² + 𝑥 - 2 - общий знаменатель дробей. Тогда дополнительными множителями будут соответственно 𝑖 + 2, 𝑥 - 1,1.

Для упрощения уравнения надо обе части его умножить на (𝑥 - 1)(𝑥 + 2); получим:

2(𝑖 + 2) + 5(𝑖 - 1) = 13;

2𝑥 + 4 + 5𝑖 - 5 = 13;

7𝑖 = 13 - 4 + 5;

7𝑖 = 14; 𝑥 = 2.

Проверка. 𝑖 = 2 удовлетворяет данному уравнению.

Ответ. 𝑥 = 2.

б) Решить уравнение (1)

Решение. Общий знаменатель 𝑥² + 𝑥 - 2; дополнительные множители: 𝑖 + 2, 𝑥 - 1, 1.

(2)

Умножаем обе части уравнения на (𝑥 - 1)(𝑖 + 2), получаем

2(𝑖 + 2) + 5(𝑖 - 1) = 6;

2𝑖 + 4 + 5𝑖 - 5 = 6; (3)

7𝑥 = 7; 𝑥 = 1.

Уравнение (3) имеет корень 𝑖 = 1. Но он является посторонним для данного уравнения, так как 1 не может быть допустимым значением для 𝑥 : при 𝑥 = 1 знаменатель первой и третьей дроби уравнения (1) обращается в нуль. Эквивалентность нарушилась при переходе от уравнения (2) к уравнению (3).

Ответ. Данное уравнение не имеет решений.

в) Решить уравнение .

Решение. Приводим к общему знаменателю

Умножаем обе части уравнения на (𝑖 + 5)(𝑖 + 3), получаем: (𝑥 - 2)(𝑥 + 5) = 2(𝑖 - 2)(𝑖 + 3).

Делим обе части уравнения на 𝑥 - 2,

𝑖 + 5 = 2(𝑖 + 3); 𝑖 + 5 = 2𝑖 + 6;

-1 = 𝑥; 𝑖 = -1.

Легко убедиться, что 𝑥 = -1 удовлетворяет данному уравнению. Однако при делении уравнения (𝑥 - 2)(𝑖 + 5) = 2(𝑖 - 2)(𝑥 + 3) на 𝑥 - 2 мы потеряли корень 𝑥 = 2. Чтобы не было потери корня, уравнение надо решать так:

(𝑥 - 2)(𝑖 + 5) - 2(𝑥 - 2)(𝑖 + 3) = 0;

(𝑥 - 2)[(𝑥 + 5) - 2(𝑥 + 3)] = 0;

(𝑥 - 2)(𝑥 + 5 - 2𝑥 - 6) = 0; (𝑖 - 2)(- 𝑥 - 1) = 0.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Тогда полученное уравнение распадется на два: 𝑥 - 2 = 0 и - 𝑥 - 1 = 0. Отсюда имеем: 𝑥1 = 2, 𝑖2 = -1.

Ответ. 𝑥1 = 2, 𝑖2 = -1.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2021 контакт: koshka@cartalana.org