ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

8. Освобождение подкоренного выражения от дроби. Используя два предыдущих преобразования радикалов, можно освобождать подкоренные выражения от дроби.

Примеры. Освободить подкоренные выражения от дроби:

Решение.

а) Чтобы в первом радикале из знаменателя можно было извлечь квадратный корень, умножим оба члена дроби на 7:

б) Чтобы во втором радикале из знаменателя можно было извлечь кубический корень, умножим оба члена дроби на 3²:

в) Чтобы в третьем радикале из знаменателя можно было извлечь корень четвертой степени, умножим оба числа на 2 (так как 8 = 2³):

Если подкоренное выражение - алгебраическая дробь, подобные примеры решают аналогично.

Примеры.

Примечание. Последние примеры можно решать и другим способом:

9. Приведение радикалов к простейшему виду. Для того чтобы привести радикал к простейшему, или нормальному виду, надо выполнить последовательно такие операции:

1) упростить подкоренное выражение (если это возможно);

2) сократить показатели корня и подкоренного выражения (если они имеют общий множитель);

3) вынести из-под радикала рациональные множители;

4) освободить подкоренное выражение от дроби.

Примеры. Привести к простейшему виду следующие радикалы:

Решение.

10. Подобие радикалов. Два или несколько радикалов называются подобными, если они одинаковой степени и имеют одинаковые подкоренные выражения.

Пример. и - подобные радикалы, так как они оба третьей степени и имеют одинаковые подкоренные выражения 𝑖² 𝑐. Иногда данные радикалы оказываются подобными только после некоторых преобразований.

Примеры.

а) Подобны ли радикалы

?

Решение.

Ответ. Подобны.

б) Подобны ли радикалы

и

Решение.

Ответ. He подобны.

в) Подобны ли радикалы

Решение.

Ответ. Подобны.

14. Действия с радикалами

1. Сложение и вычитание. Чтобы сложить (или вычесть) радикалы, их соединяют знаками плюс (или минус) и приводят подобные члены, если они окажутся.

Примеры. Выполнить указанные действия:

а) .

Решение.

б)

Решение.

в)

Решение.

г)

Решение.

2. Умножение. Чтобы перемножить несколько радикалов одинаковой степени, надо перемножить подкоренные выражения и из произведения извлечь корень той же степени.

Если перемножаются радикалы с различными показателями, то их надо предварительно привести к одному показателю. Если перед радикалами имеются коэффициенты, то их перемножают.

Пример 1. Выполнить умножение:

а) .

Решение.

б)

Решение.

в)

Решение.

г)

Решение.

Пример 2. Перемножить радикалы с различными показателями:

а) .

Решение.

б) .

Решение.

в)

Решение.

3. Деление. Чтобы разделить радикалы с одинаковыми показателями, надо разделить их подкоренные выражения и из частного извлечь корень той же степени.

Чтобы разделить радикалы с различными показателями, их надо привести предварительно к одинаковым показателям. Если есть коэффициенты, то их делят.

Пример 1. Выполнить деление:

а) .

Решение.

б)

Решение.

в)

Решение.

г)

Решение.

Пример 2. Выполнить деление с помощью формул сокращенного умножения:

Решение.

4. Возвышение в степень. Чтобы возвысить радикал в степень, надо возвысить в эту степень подкоренное выражение, оставив тот же показатель корня:

Примеры.

Алгебраические суммы радикалов можно возводить в степень, пользуясь формулами сокращенного умножения.

Примеры.

(Можно также воспользоваться формулой квадрата многочлена)

5. Извлечение корня. Чтобы извлечь корень из корня, надо перемножить показатели корней:

Примеры.

6. Квадратный корень из двучлена вида . При преобразовании выражений, содержащих квадратные радикалы, иногда пользуются формулой

,

где 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 и 𝑎² > 𝑏, а знаки в правой и левой части одновременно берутся либо верхние, либо нижние (соответственно). Эта формула называется формулой сложного радикала.

Примеры.

7. Уничтожение иррациональности в знаменателе или числителе дроби. Замена дроби, у которой знаменатель (числитель) - иррациональное выражение, тождественной ей дробью с рациональным знаменателем (числителем) называется уничтожением иррациональности в знаменателе (числителе) дроби.

Ниже рассмотрены основные приемы уничтожения иррациональностей в знаменателях. Уничтожение иррациональностей в числителях дробей выполняется аналогично.

а) Дробь вида . В этом случае умножают числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы в знаменателе корень извлекался бы нацело, т.е. на .

Примеры.

б) Дробь вида . Числитель и знаменатель умножают на сопряженное (Сопряженным множителем относительно иррационального выражения 𝑀 называется всякое выражение 𝐵, неравное тождественно нулю, такое, что произведение 𝑀𝐵 не содержит радикалов) выражение .

В частном случае, когда дробь вида , то ее члены умножают на .

Примеры.

в) Дробь вида . В этом случае числитель и знаменатель дроби умножают на неполный квадрат разности или суммы:

Примеры.

г) Дробь вида . В этом случае сопряженный множитель определяется на основании тождества

𝑎𝑛 - 𝑏𝑛 = (𝑎 - 𝑏)(𝑎𝑛-1 + 𝑎𝑛-2𝑏 +...+ 𝑏𝑛-1)

Для дроби вида сопряженный множитель определяется на основании тождества

𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎𝑛-1 - 𝑎𝑛-2 +... ±𝑏𝑛-1

(последний член 𝑏𝑛-1 берется со знаком + при 𝑛 нечетном, и – при 𝑛 четном).

Пример.

Если в знаменателе встречаются радикалы с разными показателями, то надо предварительно привести их к одному знаменателю.

Пример.

Но такие примеры можно решать и другим способом, уничтожая сначала один радикал, а затем второй:

д) Дробь вида . В этом случае пользуются тождеством

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎² + 𝑏² + 𝑐² - 𝑎𝑏 - 𝑏𝑐 - 𝑎𝑐) = 𝑎³ + 𝑏³ + 𝑐³ - 3𝑎𝑏𝑐

е) Если в знаменателе имеются три и более радикалов, то иногда полезно предварительно сгруппировать члены и свести данный случай к уже разобранным.

Пример.

8. Примеры более сложных преобразований

а) Доказать, что при

Доказательство.

Если 0< 𝑏 < 1 и 𝑎 > 0, то

.

Следовательно, данное выражение равно

Если 𝑏 ≥то данное выражение равно

б) Доказать, что если и 𝑎 > 𝑏 > 0, то

Решение. Разделив числитель и знаменатель на , получим:

Так как и 𝑎 > 𝑏 > 0, то , т.е. 𝑥 > 𝑏 > 0, и

Примечание. Этот и следующий примеры можно также решить, непосредственно подставляя вместо 𝑥 его значение.

в) Найти

при

Решение.

Подставим значение 𝑖 и 1 + 𝑖² в данное выражение

г) Упростить выражение при , если 𝑎 < 𝑏 < 2𝑎.

Решение. Из условия следует или

Поэтому

так как при , следовательно 1 - 𝑎𝑥 > 0 и 1 + 𝑎𝑥 > 0.

д) Преобразовать

где 𝑥 - любое действительное число, отличное от нуля.

Решение.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org