ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

9. Действия с алгебраическими дробями

1. Сложение и вычитание. Чтобы сложить (вычесть) алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить (вычесть) их числители и результат разделить на их общий знаменатель.

Пример. Сложить и .

Решение.

Пример. Вычислить алгебраическую сумму дробей

Решение.

Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, сложить (вычесть) числители и результат разделить на их общий знаменатель.

Пример. Упростить выражение:

Решение. Разложим знаменатели на множители:

𝑎² + 2𝑎 + 1 = (𝑎 + 1)²,

𝑎² - 2𝑎 + 1 = (𝑎 - 1)²,

𝑎² - 1 = (𝑎 - 1)(𝑎 + 1).

Общий знаменатель равен (𝑎 + 1)²(𝑎 - 1)². Следовательно,

Так как каждое целое алгебраическое выражение можно рассматривать как алгебраическую дробь со знаменателем 1, пользуясь изложенными выше правилами, можно складывать и вычитать также алгебраические дроби и целые выражения.

Пример.

2. Умножение и деление дробей. Чтобы перемножить дроби, надо перемножить отдельно их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе знаменателем.

Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Примеры умножения и деления дробей с одночленными числителями и знаменателями:

При умножении и делении дробей с многочленными числителями и знаменателями их числители и знаменатели разлагают на множители и сокращают, если это возможно.

Примеры

Пользуясь правилом умножения алгебраических дробей, можно также умножать алгебраическую дробь на целое выражение и наоборот, ведь целое выражение можно рассматривать как алгебраическую дробь со знаменателем 1.

Примеры

3. Возведение в степень Чтобы возвести алгебраическую дробь в какую-нибудь степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель и первый результат разделить на второй.

Примеры.

4. Упражнения на все действия. Если надо выполнить несколько действий над данными алгебраическими дробями или упростить громоздкое выражение с алгебраическими дробями, можно выполнять преобразования двумя способами: по частям и цепочкой.

Пример. Упростить выражение

Решение первым способом:

Решение вторым способом:

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ

10. Квадратные корни

1. Определения. Квадратным корнем из числа 𝑎 называется число, квадрат которого равен 𝑎.

Например, квадратный корень из 9 равен 3, так как 3² = 9.

Однако -3 также есть квадратный корень из 9, так как (-3)² = 9. Квадратный корень из 9 имеет два значения: 3 и -3.

Положительное значение квадратного корня называется также арифметическим значением. Арифметическое значение квадратного корня из числа 𝑎 обозначают символом . Знак называют знаком квадратного корня или радикалом. Число или выражение а, которое стоит под радикалом, называется подкоренным числом или выражением.

Подкоренное число может быть не только целым, но и дробным. Например, .

Квадратный корень из 0 имеет только одно значение: 0.

Квадратный корень из отрицательного числа не существует: нет рационального числа, квадрат которого был бы отрицательным.

2. Извлечение квадратных корней. Вычисление квадратных корней называют также извлечением квадратных корней. Действие извлечения квадратного корня обратно действию возведения в квадрат: если из положительного числа 𝑎 извлечь квадратный корень и результат возвести в квадрат, получим то же число 𝑎, т.е.

.

Из небольших чисел, являющихся точными квадратами натуральных чисел, например 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 и т.д., квадратные корни можно извлекать устно.

Чтобы извлечь квадратный корень из многоцифрового целого числа, разбивают его справа налево на грани, содержащие по две цифры (в крайней левой грани может оказаться и одна цифра).

Записывают так:

Чтобы получить первую цифру корня (5), извлекают квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой слева грани (27). Потом вычитают из первой грани квадрат первой цифры корня (25) и к разности приписывают (сносят) следующую грань (98). Слева от полученного числа (298) пишут удвоенную первую цифру корня (10), делят на нее число всех десятков ранее полученного числа (29 : 10 ≈ 2), испытывают частное (102 · 2 = 204 должно быть не большим 298), после чего записывают его (2) после первой цифры корня и т.д.

Примечание. Распространена и другая форма записи, например

Проверка. 2407² = 5793649.

Аналогично извлекают квадратные корни из десятичных дробей. Только подкоренное число надо разбивать на грани так, чтобы за пятая была между гранями.

Пример.

Примечание. Если десятичная дробь имеет нечетное число десятичных знаков, из нее точно квадратный корень не извлекается.

3. Приближенные значения квадратных корней. Если подкоренное число приближенное, то квадратный корень из него также будет приближенным числом. Квадратные корни из приближенных чисел можно извлекать точно так же, как из точных, но с учетом следующего правила подсчета цифр.

При извлечении квадратного корня из приближенных чисел в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их содержит подкоренное число. Чтобы правильно определить последнюю значащую цифру, ищут в результате на одну значащую цифру больше, чем в подкоренном числе, а затем результат округляют по правилу округления, отбрасывая эту запасную цифру.

Пример. Извлечь квадратный корень из приближенного числа 2,37.

Решение.

Ответ. (с избытком).

Однако приближенные значения квадратных корней получают не только в результате извлечения квадратных корней из приближенных чисел, но также из точных. Пусть, например, требуется извлечь квадратный корень из точного числа 2. Имеем:

Этот процесс можно продолжать без конца. Поэтому в виде десятичной дроби можно дать только приближенно с любой точностью.

11. Иррациональные числа

1. Понятие иррационального числа. Если продолжать извлекать квадратный корень из 2, получим бесконечную непериодическую десятичную дробь (Можно доказать, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Из этого следует, что не равно ни конечной десятичной дроби, ни бесконечной периодической десятичной дроби).

Это - не рациональное число, так как каждое рациональное число равно или конечной, или бесконечной периодической десятичной дроби. Этот пример приводит к следующему заключению. Или мы не должны считать числом, или должны расширить уже известное нам множество рациональных чисел, прибавив к ним новые, не рациональные числа, которые представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби. Но если не считать числом, тогда мы не смогли бы, например, выражать числами длины многих отрезков. Получилось бы, что диагональ квадрата со стороной 1 см не имеет длины. В самом деле, если сторона квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 (рис. 19) равна 1 см, то его площадь равна 1 кв. см, а площадь квадрата 𝐴𝐶𝐾𝐿 равна 2 кв. см (сравните, сколько равных треугольников содержится в каждом квадрате). Значит, длина стороны 𝑎𝑐 должна выражаться числом, квадрат которого равен 2. А среди рациональных чисел такого числа нет. Вот почему условились считать числами и и все бесконечные непериодические десятичные дроби. Но они - не рациональные числа, их называют иррациональными числами.

Рис. 19

Иррациональным называют каждое число, которое можно выразить бесконечной непериодической десятичной дробью.

Иррациональные числа бывают и положительные, и отрицательные.

Примеры иррациональных чисел:

и др.

Рациональные и иррациональные числа вместе называются действительными, или вещественными числами.

Несмотря на то, что существование отрезков, длины которых нельзя выразить рациональным числом, обнаружили еще в древней Греции (Пифагор, Евклид), однако они не ввели иррациональных чисел. Они считали, что длина таких отрезков не может быть выражена числом, так как рассматривали только рациональные числа.

Впервые к понятию иррационального числа пришли ученые ближнего и среднего Востока.

В начале XIII в. иррациональные числа появляются и у западноевропейских ученых, прежде всего у Леонардо Пизанского, однако рассматриваются они лишь с геометрической точки зрения, как неравноправные числа. Это мнение разделяло большинство математиков до XVII в. Однако развитие математики в XVII в. и ознакомление с новыми фактами заставили задуматься над самим понятием иррационального числа. К началу XVIII в. большинство математиков считало, что иррациональное число является корнем некоторой степени из целого или дробного числа, который не может быть выражен точно. Несколько иначе рассматривал иррациональные числа Ньютон, исходивший из отношения некоторого числа к числу, принятому за единицу; при несоизмеримости обоих чисел первое из них и получило название иррационального.

2. Сравнение действительных чисел. Из двух положительных действительных чисел больше то, у которого целая часть больше. Если целые части равны, большим считается то число, у которого первый из неравных десятичных знаков больше, а все предшествующие одинаковы. Из двух отрицательных действительных чисел большим считается то, у которого абсолютная величина меньше. Каждое отрицательное число меньше нуля и любого положительного числа.

Примеры.

1,4142... > 1,4139...

-1,4152...< -1,4139...

-0,0674...< 0,00176...

9,8691...< 9,87

Равными считаются такие действительные числа, которые изображаются одной и той же десятичной дробью.

3. Геометрическое изображение действительных чисел. Действительные числа, как и рациональные, можно изображать на числовой оси точками. Пусть дана числовая ось (рис. 20) с начальной (нулевой) точкой 𝑂 и единичным отрезком 𝑂𝐴. Изобразим на этой оси точку, отвечающую иррациональному числу . Для этого строим на отрезке 𝑂𝐴 квадрат, его диагональ . Если раствором циркуля 𝑂𝐶, как показано на рисунке, сделать засечку на оси, то полученная точка пересечения дуги с осью 𝐾 и будет соответствовать числу .

Рис. 20

Каждому действительному числу на числовой оси соответствует единственная точка. Наоборот, каждой точке на числовой оси соответствует единственное действительное число. Говорят, что между всеми точками числовой оси и всеми действительными числами существует взаимно однозначное соответствие.

Примечание. Между точками числовой оси и всеми рациональными числами не существует взаимно однозначного соответствия, так как не каждой точке оси соответствует рациональное число.

4. Приближение иррациональных чисел рациональными. Пусть иррациональное число α выражается такой бесконечной непериодической десятичной дробью:

Тогда конечные дроби

и

между которыми заключено число α, называются его десятичными приближенными значениями по недостатку и по избытку с точностью до .

Для получения десятичного приближенного значения по недостатку данного действительного числа с точностью до следует в десятичной дроби, изображающей это число, сохранить 𝑛 первых десятичных знаков и откинуть все последующие. Увеличив на 1 последний десятичный знак приближенного значения по недостатку, мы получим приближенное значение по избытку с точностью до .

Пример. Рассмотрим число 3,5781.... Его приближенные значения суть:

По недостатку
3
3,5
3,57
3,578
По избытку
4
3,6
3,58
3,579
С точностью до
1
0,1
0,01
0,001

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org