ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

7. Разложение многочленов на множители

Разложить многочлен на множители - значит представить его в виде произведения многочленов, тождественного данному много члену.

Ниже укажем простейшие способы разложения многочленов на множители.

1. Вынесение за скобки общего множителя. Чтобы разложить многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки, надо: а) определить этот общий множитель; б) разделить на него все члены многочлена; в) записать произведение общего множителя на полученное частное, взяв это частное в скобки.

Примеры.

2𝑎𝑥³ - 4𝑎² 𝑖² = 2𝑎𝑥²(𝑖 - 2𝑎);

40𝑚² 𝑛 - 25𝑚𝑛² + 30𝑚𝑛 = 5𝑚𝑛 (8𝑚 - 5𝑛 + 6);

𝑖 (𝑝 - 𝑎) - 𝑦 (𝑝 - 𝑎) - 𝑧 (𝑝 - 𝑎) = (𝑝 - 𝑎)(𝑖 - 𝑦 - 𝑧);

𝑎²(𝑖 - 1) - 𝑏 (1 - 𝑖) = 𝑎²(𝑖 - 1) + 𝑏 (𝑖 - 1) = (𝑖 - 1)(𝑎² + 𝑏)

2. Способ группировки. Этот способ изложим на примере.

Пример. Разложить на множители 3𝑎 - 3𝑏 + 𝑎𝑥 - 𝑏𝑥. Общего множителя все члены данного многочлена не имеют, но если сгруппируем члены по два в том порядке, как они написаны, то выражение примет вид

(3𝑎 - 3𝑏) + (𝑎𝑥 - 𝑏𝑥).

Если вынесем в первой группе общий множитель 3, а во второй общий множитель 𝑥, получим:

3(𝑎 - 𝑏) + 𝑥 (𝑎 - 𝑏).

В этом выражении общим множителем является 𝑎 - 𝑏. Следовательно,

3𝑎 - 3𝑏 + 𝑎𝑥 - 𝑏𝑥 = (𝑎 - 𝑏)(3 + 𝑥).

Примечание. Данный пример можно решить также другим способом: 3𝑎 - 3𝑏 + 𝑎𝑥 - 𝑏𝑥 = (3𝑎 + 𝑎𝑥) - (3𝑏 + 𝑏𝑥) = 𝑎 (3 + 𝑥) - 𝑏 (3 + 𝑥) = (3 + 𝑥)(𝑎 - 𝑏).

В некоторых случаях прежде чем группировать члены, нужно отдельные члены многочлена подать в виде суммы или разности.

Примеры.

𝑖² + 8𝑖 + 12 = 𝑖² + 6𝑖 + 2𝑥 + 12 = 𝑖 (𝑖 + 6) + 2(𝑖 + 6) = (𝑖 + 6)(𝑖 + 2).

𝑥² - 2𝑥 - 8 = 𝑥² - 4𝑥 + 2𝑥 - 8 = 𝑥 (𝑥 - 4) + 2(𝑥 - 4) = (𝑥 - 4)(𝑥 + 2).

6𝑖² - 𝑥 - 1 = 6𝑖² - 3𝑥 + 2𝑥 - 1 = 3𝑥 (2𝑥 - 1) + (2𝑥 - 1) = (2𝑥 - 1)(3𝑖 + 1).

3. Разложение на множители по формулам сокращенного умножения. Способ разложения на множители заключается в использовании формул сокращенного умножения, которые надо читать не только слева направо, но и справа налево, т.е. надо пользоваться следующими формулами:

𝑎² - 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 - 𝑏);

𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)²;

𝑎² - 2𝑎𝑏 + 𝑏² = (𝑎 - 𝑏)²;

𝑎³ + 3𝑎² 𝑏 + 3𝑎𝑏² + 𝑏³ = (𝑎 + 𝑏)³;

𝑎³ - 3𝑎² 𝑏 + 3𝑎𝑏² - 𝑏³ = (𝑎 - 𝑏)³;

𝑎³ + 𝑏³ = (𝑎 + 𝑏)(𝑎² - 𝑎𝑏 + 𝑏²);

𝑎³ - 𝑏³ = (𝑎 - 𝑏)(𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑏²).

Примеры.

а) (𝑥 + 𝑦)² - (𝑥 - 𝑦)² = (𝑖 + 𝑦 + 𝑥 - 𝑦)(𝑥 + 𝑦 - 𝑥 + 𝑦) = 2𝑥 · 2𝑦 = 4𝑥𝑦;

б) -6𝑎 - 𝑎² - 9 = -(𝑎² + 6𝑎 + 9) = -(𝑎 + 3)²;

в) 𝑚² + 𝑛² - 2𝑚𝑛 = (𝑚 - 𝑛)²;

г) 125𝑚³ - 75𝑚² 𝑛 + 15𝑚𝑛² - 𝑛³ = (5𝑚 - 𝑛)³;

д) 𝑖³ + 8𝑦³ = (𝑖 + 2𝑦)(𝑥² - 2𝑥𝑦 + 4𝑦²);

е)

4. Применение различных способов разложения на множители. При разложении многочленов на множители часто используются несколько приемов.

В каждом отдельном случае надо предварительно изучить состав данного многочлена и затем определить, какие приемы разложения на множители здесь следует использовать. В большинстве случаев приходится применять все указанные выше приемы разложения на множители в различной последовательности. Иногда при этом используют искусственные приемы.

Примеры.

а) 𝑚𝑝 - 𝑛𝑝 + 𝑚² - 2𝑚𝑛 + 𝑛² = (𝑚𝑝 - 𝑛𝑝) + (𝑚² - 2𝑚𝑛 + 𝑛²) = 𝑝 (𝑚 - 𝑛) + (𝑚 - 𝑛)² = (𝑚 - 𝑛)(𝑝 + 𝑚 - 𝑛);

б) 1 - 𝑝² - 2𝑝𝑞 - 𝑞² = 1 - (𝑝² + 2𝑝𝑞 + 𝑞²) = 1 - (𝑝 + 𝑞)² = (1 + 𝑝 + 𝑞)(1 - 𝑝 - 𝑞);

в) 𝑏𝑐 (𝑏 + 𝑐) + 𝑑𝑎 (𝑐 - 𝑎) - 𝑎𝑏 (𝑎 + 𝑏) = 𝑏² 𝑐 + 𝑏𝑐² + 𝑐² 𝑎 - 𝑑𝑎² - 𝑎𝑏 (𝑎 + 𝑏) = (𝑏² 𝑐 - 𝑑𝑎²) + (𝑏𝑐² + 𝑐² 𝑎) - 𝑎𝑏 (𝑎 + 𝑏) = 𝑐 (𝑏² - 𝑎²) + 𝑐²(𝑏 + 𝑎) - 𝑎𝑏 (𝑎 + 𝑏) = 𝑐 (𝑎 + 𝑏)(𝑏 - 𝑎) + 𝑐²(𝑎 + 𝑏) - 𝑎𝑏 (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)[𝑐 (𝑏 - 𝑎) + 𝑐² - 𝑎𝑏] = (𝑎 + 𝑏)(𝑏𝑐 - 𝑎𝑐 + 𝑐² - 𝑎𝑏) = (𝑎 + 𝑏)[(𝑏𝑐 - 𝑎𝑏) + (𝑐² - 𝑎𝑐)] = (𝑎 + 𝑏)[𝑏 (𝑐 - 𝑎) + 𝑐 (𝑐 - 𝑎)] = (𝑎 + 𝑏)(𝑐 - 𝑎)(𝑏 + 𝑐);

г) 𝑖³ + 5𝑖² + 3𝑖 - 9 = (𝑖³ - 1) + (5𝑖² - 5) + (3𝑖 - 3) = (𝑖 - 1)(𝑖² + 𝑖 + 1) + 5(𝑖² - 1) + 3(𝑖 - 1) = (𝑖 - 1)(𝑖² + 𝑖 + 1) + 5(𝑖 - 1)(𝑖 + 1) + 3(𝑖 - 1) = (𝑖 - 1)[𝑖² + 𝑖 + 1 + 5(𝑖 + 1) + 3] = (𝑖 - 1)(𝑖² + 𝑖 + 1 + 5𝑖 + 3) = (𝑖 - 1)(𝑖² + 6𝑖 + 9) = (𝑖 - 1)(𝑖 + 3)²

8. Алгебраические дроби

1. Дробные выражения и алгебраические дроби. Алгебраическое выражение называется дробным, если среди указанных в нем действий есть деление на буквенное выражение. Примеры дробных выражений:

Простейшими среди дробных выражений считаются выражения вида , где 𝑎 и 𝐵 - многочлены. Они называются алгебраическими дробями. Многочлены 𝑎 и 𝐵 называются соответственно числителем и знаменателем алгебраической дроби. Числитель и знаменатель называются также членами дроби. Примеры алгебраических дробей:

Примечание. Напомним, что одночлен считается частным видом многочлена. В частности, число 1 также можно рассматривать как многочлен. Поэтому каждое целое алгебраическое выражение можно считать алгебраической дробью со знаменателем, равным 1. Каждую обыкновенную дробь также можно рассматривать как алгебраическую дробь.

2. Основное свойство алгебраической дроби. Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же неравное нулю число. Это свойство с помощью букв записывается так:

где 𝑎 и 𝑏 - члены дроби, а 𝑚 может быть любым числом - целым или дробным (положительным и отрицательным), но не равным нулю. Из этого свойства вытекают следующие положения. Значение дроби не изменится, если у числителя и знаменателя одновременно изменить знаки на противоположные.

Например.

Значение дроби не изменится, если изменить знак у одного из членов дроби и перед самой дробью.

Примеры.

3. Сокращение дробей. Сократить дробь - это значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий делитель.

Если числитель и знаменатель дроби одночлены, то общие делители находят устно и затем сокращают.

Пример.

Если числитель и знаменатель дроби многочлены, то их надо предварительно разложить на множители (если это возможно) и после этого произвести сокращение.

Пример.

Иногда для нахождения общего делителя многочленов используют алгоритм Евклида.

Пример. Сократить дробь

Найдем общий делитель многочленов

𝑎4 + 𝑎² 𝑏² + 𝑏4, 𝑎³ + 2𝑎² 𝑏 + 2𝑎𝑏² + 𝑏³.

а) Разделим первый многочлен на второй:

б) Разделим делитель 𝑎³ + 2𝑎² 𝑏 + 2𝑎𝑏² + 𝑏³ на один из сомножителей остатка, - на 𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑏²:

Следовательно, общим делителем будет 𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑏². Тогда

𝑎³ + 2𝑎² 𝑏 + 2𝑎𝑏² + 𝑏³ = (𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑏²)(𝑎 + 𝑏),

𝑎⁴ + 𝑎² 𝑏² + 𝑏⁴ = (𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑏²)(𝑎² - 𝑎𝑏 + 𝑏²)

Значит

4. Приведение дробей к общему знаменателю. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю выполняется так же как и в арифметике.

Простейшим общим знаменателем дробей с одночленными знаменателями есть наименьшее общее кратное коэффициентов знаменателей (Если они - натуральные числа), умноженное на все различные буквы, входящие в знаменатели, причем каждую букву берут с наибольшим показателем, с каким она входит в знаменатели.

Так, например, простейший общий знаменатель дробей

равен 6𝑎² 𝑏²

Дополнительные множители следующие:

6𝑎² 𝑏² : 𝑎𝑏 = 6𝑎𝑏,

6𝑎² 𝑏² : 3𝑎𝑏 = 2𝑏,

6𝑎² 𝑏² : 2𝑎² 𝑏² = 3

Поэтому имеем:

Для вычисления простейшего общего знаменателя дробей с многочленными знаменателями сначала надо их разложить на множители.

Пример. Привести к общему знаменателю алгебраические дроби: и .

Решение.

2𝑚 - 2𝑛 = 2(𝑚 - 𝑛),

𝑚² - 𝑛² = (𝑚 - 𝑛)(𝑚 + 𝑛)

Следовательно,

Ответ.

Примечание. Если не требуется, чтобы общий знаменатель был простейшим, можно, не тратя времени на разложение многочленов, просто взять за общий знаменатель произведение знаменателей данных дробей.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org