ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

5. Действия над целыми алгебраическими выражениями

1. Сложение одночленов и многочленов. Чтобы сложить одночлены, достаточно записать их один за другим с их знаками и привести подобные члены, если они есть.

Пример. (-0,2𝑥𝑦) + (3,7𝑖²) + (-3,5𝑥𝑦) + (-6,8𝑖²) = -0,2𝑥𝑦 + 3,7𝑖² - 3,5𝑥𝑦 - 6,8𝑖² = -3,7𝑥𝑦 - 3,1𝑖².

Чтобы сложить многочлены, надо записать последовательно все их члены с их знаками и привести подобные члены, если они есть.

Пример. (12𝑎 + 7𝑏 - 𝑐) + (𝑐 - 7𝑏 + 8𝑎) = 12𝑎 + 7𝑏 - 𝑐 + 𝑐 - 7𝑏 + 8𝑎 = 20𝑎.

Сложение расположенных многочленов выполняют так: подписывают многочлены так, чтобы подобные члены находились один под другим; после этого сразу приводят подобные члены и записывают окончательный результат.

Пример. Сложить многочлены: .

Решение. .

2. Вычитание одночленов и многочленов. Чтобы вычесть одночлен, достаточно прибавить его к уменьшаемому с противоположным знаком и привести подобные члены, если они есть.

Примеры. .

Чтобы вычесть многочлен, надо записать после уменьшаемого все его члены с противоположными знаками и привести подобные члены, если они есть.

Пример. .

Вычитание расположенных многочленов можно выполнять так: у вычитаемого многочлена меняют знаки всех членов на противоположные, подписывают его под уменьшаемым так же, как и при сложении, и приводят подобные члены.

Пример. Выполнить вычитание в столбик: .

Решение.

3. Умножение одночленов и многочленов. Чтобы перемножить одночлены, надо перемножить их коэффициенты и к произведению приписать множителем каждую букву из перемножаемых одночленов с показателем, равным сумме показателей этой буквы в сомножителях. Если буква входит только в один из сомножителей, то ее записывают в произведение с тем же показателем.

Примеры

Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Примеры.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Примеры.

Умножение расположенных многочленов покажем на примере:

При умножении многочленов их располагают по убывающим степеням одной из букв. Умножение выполняют в следующем порядке. Все члены множимого умножают на первый член множителя и результат записывают в строку под чертой. Затем все члены множимого умножают на второй член множителя и результат записывают во второй строке так, чтобы подобные члены оказались друг под другом. Так же записывают произведения всех членов множимого на третий член множителя и так далее до конца. Подобные члены приводят и окончательный результат записывают внизу под чертой.

4. Возведение в степень одночленов. Чтобы возвести одну степень в другую, надо основание возвести в степень, равную произведению показателей степеней.

Примеры. .

Чтобы возвести в степень одночлен, надо возвести в эту степень каждый сомножитель и полученные результаты перемножить.

Примеры. .

5. Деление одночленов. При делении степеней одного и того же основания из показателя делимого вычитается показатель делителя, а основание остается прежним.

Примеры. 𝑥6 : 𝑥2 = 𝑥4; 𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚-𝑛 (при 𝑚 > 𝑛).

Примечание. Если 𝑚 равно 𝑛, то в этом случае делитель и делимое равны, значит, частное равно единице:

𝑎𝑚 : 𝑎𝑚 = 1.

Чтобы разделить одночлен на одночлен, надо разделить коэффициент делимого на коэффициент делителя и к полученному частному приписать множителями каждую букву делимого с показателем, равным разности показателей этой буквы в делимом и делителе.

Примеры.

Деление одночленов нацело невыполнимо, если показатель какой-либо буквы в делителе больше показателя той же буквы в делимом или если делитель содержит букву, которой нет в делимом.

6. Деление многочлена на одночлен. Чтобы разделить многочлен на одночлен, надо разделить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные частные сложить.

Примеры.

7. Деление многочлена на многочлен. Рассмотрим деление многочленов на примере, когда оба многочлена зависят от одной буквы.

Пусть надо разделить многочлен 6𝑖4 - 11𝑖2 + 5𝑖3 + 9𝑖 - 5 на многочлен 3𝑖2 + 4𝑖 - 5. Для этого располагают многочлены по убывающим степеням букв 𝑥. Затем выполняют деление в следующем порядке:

а) делят первый член делимого на первый член делителя и получают первый член частного;

б) умножают делитель на первый член частного и произведение вычитают из делимого. Получают первый остаток;

в) делят первый (старший) член остатка на первый член делителя, получают второй член частного и так делят до тех пор, пока деление не окончится или пока не получится остаток, старший член которого не делится на старший член делителя.

Записывают так:

Если многочлены зависят от двух или нескольких букв, выбирают какую-нибудь букву главной и располагают многочлены по убывающим степеням этой буквы. Тогда остальные буквы рассматривают как коэффициенты, и деление таких многочленов выполняют так же, как и в первом случае.

Пример.

или

Деление многочленов не всегда выполняется нацело. В большинстве случаев при делении многочлена на многочлен получается остаток.

Пример.

Здесь многочлен 2𝑎² + 10𝑎 - 4 уже не делится на 𝑎³ - 2𝑎² + 3𝑎 - 1, следовательно, в результате деления получено частное 𝑎³ - 4𝑎 - 5 и остаток 2𝑎² + 10𝑎 - 4.

Между делимым 𝑎, делителем 𝑏, частным 𝑞 и остатком 𝑟 существует следующая зависимость:

𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟.

В рассмотренном примере имеем:

Примечание. В случае деления многочленов от нескольких букв частное и остаток определяются не однозначно в зависимости от того, какую букву выбрано главной. Например,

, но

Здесь делимое и делитель в обоих случаях одинаковы, но частные и остатки - разные.

6. Формулы сокращенного умножения

1. Произведение суммы двух чисел на их разность. Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 - 𝑏) = 𝑎² - 𝑏².

Эту формулу можно представить геометрически (рис. 16). Площадь заштрихованной части на верхнем рисунке равна 𝑎² - 𝑏², на нижнем она равна (𝑎 + 𝑏)(𝑎 - 𝑏).

Рис. 16

Примеры.

2. Квадрат суммы. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа:

(𝑎 + 𝑏)² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏².

Примеры.

Геометрически формулу квадрата суммы двух чисел можно изобразить, как показано на рис. 17.

Рис. 17

Квадрат суммы нескольких слагаемых можно определить по формуле

Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов, сложенной с суммой всевозможных удвоенных произведений его членов, взятых по два.

Пример. (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)² = 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² + 2𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 + 2𝑥𝑧 (рис. 18)

Рис. 18

3. Квадрат разности. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа:

(𝑎 - 𝑏)² = 𝑎² - 2𝑎𝑏 + 𝑏².

Примеры.

4. Куб суммы и разности. Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго числа:

(𝑎 + 𝑏) = 𝑎³ + 3𝑎² 𝑏 + 3𝑎𝑏² + 𝑏³.

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго числа:

(𝑎 - 𝑏)³ = 𝑎³ - 3𝑎² 𝑏 + 3𝑎𝑏² - 𝑏³.

Примеры.

5. Сумма и разность кубов. Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат их разности:

𝑎³ + 𝑏³ = (𝑎 + 𝑏)(𝑎² - 𝑎𝑏 + 𝑏²).

Примечание. Неполным квадратом разности чисел 𝑎 и 𝑏 называют выражение 𝑎² - 𝑎𝑏 + 𝑏². От полного квадрата разности 𝑎² - 2𝑎𝑏 + 𝑏² оно отличается только средним коэффициентом. Выражение 𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑏² называют неполным квадратом суммы.

Если приведенную выше формулу прочитать справа налево, получим: произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их разности равно сумме кубов этих чисел.

Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы:

𝑎³ - 𝑏³ = (𝑎 - 𝑏)(𝑎² + 𝑎𝑏 + 𝑏²).

Эта формула читается и справа налево: произведение разности двух чисел на неполный квадрат их суммы равно разности кубов этих чисел.

Примеры.

6. Применения формул сокращенного умножения. При помощи формул сокращенного умножения можно сравнительно быстро выполнять тождественные преобразования многих алгебраических выражений.

Пример. Упростить (𝑥 - 1)(𝑥 + 1)(𝑥4 + 𝑖2 + 1) - (𝑖2 + 1)3.

Решение (по частям):

Однако удобней преобразования выполнять цепочкой:

Можно использовать формулы сокращенного умножения и при делении многочленов.

Примеры.

Формулы сокращенного умножения используют также при устных вычислениях. Пусть, например, надо вычислить 50,52 - 49,52. В данном случае возводить в квадраты было бы нерационально, лучше воспользоваться формулой разности квадратов:

50,52 - 49,52 = (50,5 + 49,5) · (50,5 - 49,5) = 100 · 1 = 100.

Еще пример: 31 · 29 = (30 + 1) · (30 - 1) - 900 - 1 = 899. Такие вычисления можно выполнять устно.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org