ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

3. Алгебраические выражения

1. Употребление букв. В алгебре для обозначения чисел кроме цифр, пользуются буквами, чаще всего латинского алфавита.

Буквы употребляют:

1) для обозначения неизвестных чисел, например в упражнении "Определить 𝑥, если 𝑥 + 0,9 = 2,7";

2) для обозначения произвольных чисел; например, когда хотят сказать, что переместительный закон сложения имеет место для любых рациональных чисел, пишут: какие бы ни были рациональные числа 𝑎 и 𝑏, 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎.

Обычно неизвестные числа обозначают последними буквами латинского алфавита (𝑥, 𝑦, 𝑧), а известные - первыми (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 и т.д.). Целые числа чаще всего обозначают буквами 𝑚, 𝑛, 𝑘, 𝑙 и др. Однако этих соглашений не всегда придерживаются: могут быть неизвестными и числа, обозначенные буквами 𝑎, 𝑏, 𝑛, и известными считаться 𝑥, 𝑦, 𝑧 и т.д.

2. Алгебраические выражения. Так как под буквами в алгебре подразумевают числа, то с ними оперируют, как с числами, обозначенными цифрами. Например, если требуется сложить 𝑎 и 𝑏, пишут 𝑎 + 𝑏. Эту запись и называют суммой чисел 𝑎 и 𝑏.

Примечание. Перед множителями, выраженными буквами, знак умножения не ставят, а только подразумевают. Например, вместо 𝑎 · 𝑏 · 𝑐, 4· 𝑥 пишут 𝑎𝑏𝑐, 4𝑥. Однако перед множителями, обозначенными цифрами, знак умножения пишут обязательно. Например, вместо писать нельзя.

Совокупность чисел, обозначенных буквами или цифрами и со единенных знаками действий, называют алгебраическим выражением. Для краткости вместо "алгебраическое выражение" говорят просто "выражение".

Примеры алгебраических выражений:

Алгебраическое выражение может состоять из одной буквы, может совсем не содержать чисел, обозначенных буквами. В последнем случае (см. два последних примера) их называют также арифметическими выражениями.

3. Числовое значение алгебраического выражения. Числовым значением алгебраического выражения при данном значении входящих в него букв называется число, полученное в результате подстановки вместо букв соответствующих чисел и выполнения указанных действий.

Пример. Определить числовое значение выражения 3𝑎 + 5 при 𝑎 = 5,7.

Решение. Если 𝑎 = 5,7, то

3𝑎 + 5 = 3 · 5,7 + 5 = 22,1.

Ответ. При 𝑎 = 5,7 числовое значение данного выражения равно 22,1.

Пример. Определить числовое значение выражения при 𝑎 = 1 и 𝑛 = -2,5.

Решение. Если 𝑎 = 1, 𝑛 = -2,5, то

Однако на 0 делить нельзя, следовательно, при данных значениях букв данное алгебраическое выражение не имеет числового значения. Говорят также, что при 𝑎 = 1 и 𝑛 = -2,5 это выражение лишено смысла или что эти значения недопустимы для данного выражения.

Числовые значения, которые могут принимать буквы в данном алгебраическом выражении, не лишая его смысла, называются допустимыми значениями для этих букв.

4. Одночлен и многочлен. Алгебраические выражения, составленные из цифр и букв с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем, называются рациональными алгебраическими выражениями.

Примеры.

Рациональное алгебраическое выражение называется целым, если оно не содержит деления на буквенное выражение.

Пример.

Из целых выражений наиболее простыми являются одночлены. Алгебраическое выражение, которое содержит только действия умножения и возведения в степень, называется одночленом.

Примеры. .

Эти одночлены записаны в простейшем (каноническом) виде.

Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется многочленом, или полиномом.

Пример.

Каждый одночлен, входящий в состав многочлена, называется его членом. Многочлен, состоящий из двух членов, называется также двучленом, или биномом (например, 2𝑎 - 𝑏); многочлен, состоящий из трех членов, называется трехчленом (например, 3𝑎 - 2𝑏 + 8) и т.д.

Одночлен принято также считать многочленом.

5. Расположенные многочлены. Пусть дано многочлен, содержащий только одну букву в различных степенях. Пользуясь переместительным законом сложения, мы можем переставить его члены так, чтобы они были расположены или по возрастающим, или по убывающим степеням этой буквы.

Пример. Многочлен - 15𝑖2 + 7𝑖4 - 8𝑖 + 3 - 5𝑖3 расположить: а) по возрастающим степеням 𝑥; б) по убывающим степеням 𝑥.

Решение, а) 3 - 8𝑖 - 15𝑖2 - 5𝑖3 + 7𝑖4 (по возрастающим степеням); б) 7𝑖4 - 5𝑖3 - 15𝑖2 - 8𝑖 + 3 (по убывающим степеням).

Если многочлен содержит две или несколько букв, то выбирают одну из них, которую называют главной, и располагают многочлен по степеням этой главной буквы. Например, выражение 3𝑖3 - 2𝑎𝑥2 + 𝑎4𝑖 - 5𝑎2 является многочленом, расположенным по убывающим степеням буквы 𝑥. Первый член расположенного многочлена, содержащий главную букву в наивысшей степени, называется старшим, а последний - низшим членом этого многочлена. Степень старшего члена называется степенью и самого многочлена. Так, в нашем случае 3𝑖3 - старший член, -5𝑎2 - низший член, 3 - будет степенью старшего члена и степенью самого многочлена.

6. Коэффициент. Числовой множитель, стоящий впереди буквенных множителей, называется коэффициентом.

Если выражение содержит только буквенные множители, то его коэффициент равен единице, например, вместо 1𝑐 пишут просто 𝑐, вместо l𝑎𝑏 пишут 𝑎𝑏. Коэффициент может быть целым числом, например в выражении 5𝑑𝑒, а также дробным, например в выражении . Если коэффициент - натуральное число, то он показывает, сколько раз стоящее за ним выражение берется слагаемым, например 5𝑑𝑒 = 𝑑𝑒 + 𝑑𝑒 + 𝑑𝑒 + 𝑑𝑒 + 𝑑𝑒. Если же коэффициент - дробное положительное число, то он показывает, какую дробь надо взять от значения стоящего за ним выражения. Например, в выражении коэффициент означает, что при любых значениях 𝑎 и 𝑏 надо взять от их произведения.

С помощью коэффициентов можно короче записать многие выражения, содержащие одинаковые буквы, соединенные знаками + и —, например:

Примечание. В дальнейшем понятие коэффициента обобщается, даже буквенные множители можно рассматривать как коэффициенты. Например, в выражении 2𝑎𝑏𝑥 коэффициентом при 𝑥 есть 2𝑎𝑏.

7. Порядок действий. В алгебре сохраняются правила о порядке выполнения действий, которые приняты в арифметике (если не учитывать одного исключения). В выражениях без скобок, содержащих действия разных ступеней, сначала надо выполнять возведение в степень, затем умножение, деление и, наконец, сложение и вычитание. Если в выражении есть скобки, то действия над числами, заключенными в скобки, выполняются первыми.

Пример. Найти числовое значение выражения

при 𝑎 = -1, 𝑏 = 0,5.

Решение. Если 𝑎 = -1, 𝑏 = 0,5, то

4. Тождественные преобразования целых выражений

1. Тождественные выражения и преобразования. Два выражения называются тождественными, если они имеют одинаковые числовые значения при всех допустимых значениях входящих в них букв.

Пример. Выражения 3(𝑎 - 2) + 6 и 3𝑎 тождественны:

при 𝑎 = 13(𝑎 - 2) + 6 = 3 и 3𝑎 = 3,

при 𝑎 = 23(𝑎 - 2) + 6 = 6 и 3𝑎 = 6 и т.д.

Два тождественных выражения, соединенные знаком равенства, составляют тождество. Можно сказать и так: равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него букв, называется тождеством.

Примеры. 3(𝑎 - 2) + 6 = 3𝑎;

𝑥 + 2𝑥 + 5𝑥 - 8𝑥 - тождества.

Тождествами являются также все равенства, выражающие законы сложения и умножения:

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎,

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐),

𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎,

𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 = 𝑎 (𝑏 𝑐),

(𝑎 + 𝑏) 𝑐 = 𝑎 𝑐 + 𝑏 𝑐

Замена одного выражения другим, тождественным ему, называется тождественным преобразованием этого выражения.

Дальше будут приведены примеры простейших тождественных преобразований целых алгебраических выражений.

2. Приведение подобных членов. Два одночлена равны, если у них равны коэффициенты и они составлены из одинаковых букв с соответственно равными показателями. Одночлены называются подобными, если они равны или отличаются только коэффициентами.

Примеры. Одночлены и равны; одночлены и подобны.

Замена алгебраической суммы подобных членов одним членом, тождественным этой сумме, называется приведением подобных членов. Чтобы привести подобные члены, надо сложить их коэффициенты и полученную сумму записать коэффициентом того же буквенного выражения.

Примеры.

3. Раскрытие скобок и заключение в скобки. Раскрыть в алгебраическом выражении скобки, значит заменить его тождественным ему выражением, не содержащим скобок. Правила раскрытия скобок следуют из свойств сложения и вычитания:

𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐,

𝑎 - (𝑏 - 𝑐) - 𝑎 - 𝑏 + 𝑐.

Формулируют эти правила так:

а) чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, надо записать без скобок все члены, стоящие в скобках, с их знаками;

б) чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, надо записать без скобок все члены, стоящие в скобках, с противоположными знаками.

Примеры.

При заключении в скобки пользуются такими правилами:

а) чтобы заключить в скобки многочлен со знаком плюс перед скобками, надо записать в скобках все члены многочлена с их знаками;

б) чтобы заключить в скобки многочлен со знаком минус перед скобками, надо записать в скобках все члены многочлена с противоположными знаками.

Примеры. В выражении 2𝑖3 + 5𝑖2𝑦 - 4𝑥𝑦2 - 𝑦3 заключить в скобки крайние члены со знаком плюс перед скобками, а средние члены - со знаком минус.

Решение.

2𝑥³ + 5𝑖²𝑦 - 4𝑥𝑦² - 𝑦³ = (2𝑖³ - 𝑦³) - (4𝑥𝑦² - 5𝑖²𝑦).

В выражении 𝑥² - 𝑦² - (𝑦 - 𝑥) изменить перед скобками знак на противоположный, не изменяя величины выражения.

Решение.

𝑥² - 𝑦² - (𝑦 - 𝑥) = 𝑥² - 𝑦² + (𝑥 - 𝑦).

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org