ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ

1. Рациональные числа

1. Положительные и отрицательные числа. По мере развития математики происходило обобщение понятия числа. Обнаружилось, что чисел, которые использует арифметика, недостаточно для решения многих теоретических и практических задач. Были введены новые - отрицательные числа. Для их обозначения используют знак минус, например: -2, -19, -0,7 и т.д.

Отрицательные числа бывают целые и дробные. Например, числа -4, -306 - целые отрицательные, а числа - дробные отрицательные. Чтобы не смешивать с отрицательными числами те натуральные и дробные числа, которые рассматривались в арифметике, условились называть их положительными. Перед положительными числами иногда пишут знак плюс, но можно его и не писать. Например, числа +7 и 7 - одно и то же.

Число нуль не принадлежит ни к положительным, ни к отрицательным числам. Перед ним можно ставить и плюс, и минус; числа +0, -0 и 0 - обозначают одно и то же.

Целые положительные (т.е. натуральные), целые отрицательные числа и нуль все вместе называют целыми числами. Все целые числа и дробные числа (положительные и отрицательные) называют рациональными числами.

Примечание. Раньше рациональные числа называли относительными.

2. Числовая ось. Рациональные числа удобно изображать на прямой линии. Для этого достаточно взять на прямой какую-нибудь точку 𝑂 (ее называют начальной или нулевой), в обе стороны от нее отложить равные отрезки и их концы обозначить числами, как показано на рис. 15. Тогда каждому рациональному числу на прямой будет соответствовать определенная точка. Например, число 2 изображает точка 𝑎, число -2,3 - точка 𝐵.

Рис. 15

Прямая, точки которой изображают числа, называется числовой прямой или числовой осью.

Каждому рациональному числу на числовой оси соответствует единственная точка.

Примечание. Однако не каждой точке числовой оси соответствует рациональное число.

Двум рациональным числам, которые отличаются только знаками, на числовой оси соответствуют точки, расположенные по обе стороны от нулевой точки и на одинаковых расстояниях от нее. Такие пары чисел называют противоположными числами. Например, число 9 противоположно числу -9 и наоборот.

Противоположными называют также знаки + и —.

3. Абсолютная величина числа. Два противоположных числа, например +7 и -7, отличаются знаками, но записываются одинаковыми цифрами. Говорят, что они имеют одинаковые абсолютные величины. Абсолютная величина каждого из них равна 7.

Абсолютной величиной положительного числа называется само это число, абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему число, абсолютной величиной числа 0 называется само число 0.

Обозначают абсолютную величину числа 𝑎 знаком |𝑎|.

Таким образом, |𝑎| = 𝑎, если 𝑎 > 0; |𝑎| = - 𝑎, если 𝑎 < 0; |0| = 0.

Например, |-13| = 13; |4| = 4; |0| = 0.

4. Сравнение рациональных чисел. Отрицательные числа сравнивают по величине как между собой, так и с положительными числами. Из двух рациональных чисел то больше, которому на числовой оси соответствует точка, расположенная правее.

Отсюда вытекают следующие положения:

а) всякое положительное число больше нуля и больше отрицательного числа;

б) всякое отрицательное число меньше нуля;

в) из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютная величина меньшая.

Например,

.

Равными считаются только такие числа, у которых и знаки, и абсолютные величины равны, например .

2. Действия с рациональными числами

Действия сложения и умножения рациональных чисел определяют; правила вычитания и деления выводят из правил сложения и умножения.

1. Сложение

а) Чтобы сложить рациональные числа с одинаковыми знаками, складывают их абсолютные величины и перед суммой ставят их общий знак.

Примеры. (+8) + (+11) = 19; (-7) + (-3) = -10.

б) Чтобы сложить два рациональных числа с разными знаками, необходимо из большей абсолютной величины вычесть меньшую абсолютную величину и поставить знак числа с большей абсолютной величиной.

Примеры. (+19) + (-7) = 12; (-2,4) + 15,8 = 13,4.

в) Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

Пример: (-15) + (+15) = 0; .

г) Если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому: 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎.

Законы сложения положительных чисел справедливы для всех рациональных чисел.

Сложение нескольких чисел с разными знаками можно выполнить последовательно: сначала найти сумму первых двух слагаемых, к этой сумме прибавить третье и т.д. Однако удобней сложение выполнять по такому правилу: чтобы сложить несколько рациональных чисел с разными знаками, надо сложить отдельно все положительные и все отрицательные числа и полученные два числа сложить по правилу сложения чисел с разными знаками.

Примеры. (+15) + (-4) + (-8) + (+9) + (-1) = (+24) + (-13) = +11.

2. Вычитание. Чтобы вычесть одно число из другого, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Примеры. (-3) - (+8) = (-3) + (-8) = -11; -7 - (-4) = -7 + (+4) = -3.

Вычитание рациональных чисел заменяется сложением. Поэтому вычитание рациональных чисел всегда возможно.

3. Алгебраическая сумма. Так как вычитание рациональных чисел можно заменять сложением, то каждое выражение, состоящее из нескольких сложений и вычитаний, можно подать в виде суммы чисел с теми же абсолютными величинами. Поэтому на такие выражения можно смотреть как на суммы. Их называют алгебраическими суммами.

Примеры алгебраических сумм:

3 + 7 - 4, (-2) + (-7) + (+8) - (-4), 𝑎 + 𝑏 - 𝑐 + 𝑑.

4. Умножение. Чтобы перемножить два рациональных числа, надо перемножить их абсолютные величины и перед результатом поставить знак плюс, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки, или минус, если сомножители имеют разные знаки.

Примеры. (-2) · (-3) = +6; (-0,5) · (+2) = -1;

(+2) · (+3) = +6; (+0,5) · (-4) = -2.

Если хоть один сомножитель равен нулю, то и произведение равно нулю, например 0 · (-5) = 0; (+2,5) · 0 = 0.

Чтобы умножить несколько сомножителей с разными знаками, надо перемножить абсолютные величины чисел и определить знак произведения: если число отрицательных сомножителей четное, то произведение будет положительным, если число отрицательных сомножителей нечетное, то произведение будет отрицательным.

Примеры. (-5) · (+4) · (-2) · (-3) · (+10) = -1200 (число отрицательных сомножителей нечетное - три).

(число отрицательных сомножителей четное - четыре).

Законы умножения положительных чисел справедливы для всех рациональных чисел.

5. Возведение в степень. Степень любого рационального числа с натуральным показателем определяется так же, как и степень положительного числа, т.е. представляет собой произведение нескольких равных сомножителей.

Четная степень отрицательного числа положительная, нечетная степень - отрицательная.

Примеры.

6. Деление. Частное от деления двух рациональных чисел с одинаковыми знаками равно частному их абсолютных величин, взятому со знаком плюс.

Примеры. (-16) : (-4) = +4; (+28) : (+4) = +7.

Частное от деления двух рациональных чисел с противоположными знаками равно частному их абсолютных величин, взятому со знаком минус.

Примеры. (-48) : (+12) = -4; (+16,8) : (-8) = -2,1.

7. Исторические сведения о развитии понятия отрицательного числа. Впервые отрицательные числа появились у китайских математиков около начала нашего летоисчисления. В IV-V вв. индийские математики развили учение об отрицательных числах, а в VII в. Брахмагупта дал и истолкование действиям над отрицательными числами, называя положительные числа имуществом, а отрицательные - долгом: "Сумма двух имуществ есть имущество, двух долгов - долг, сумма имущества и долга - их разность, или, если они равны, - нуль. Сумма нуля и долга есть долг, имущества и нуля - имущество, двух нулей - нуль. Меньшее вычитается из большего, имущество из имущества, долг из долга, но если вычитается большее из меньшего значение избытка меняется. Долг, будучи вычтен из нуля, делается имуществом, имущество превращается в долг".

Однако, несмотря на логичность и увязку с практикой, учение индийских ученых не было воспринято на Западе. Лука Пачиоли (1445-1514) пользуется отрицательными числами, но лишь в составе многочленов. Он пользуется правилом "минус на минус дает плюс" в применении к выражениям типа (𝑎 - 𝑏) × (𝑎 - 𝑏).

В большей степени пользуется отрицательными числами Кардано. М. Штифель, исходя из положения, что отрицательные числа "меньше, чем ничто", назвал их "нелепыми числами". Большинство европейских ученых придерживалось такого же взгляда и оперировало исключительно с положительными числами.

Декарт тоже называл отрицательные числа "ложными", однако он представлял их в виде отрезков, имеющих направление, противоположное отрезкам, соответствующим положительным числам.

Дальнейшее развитие теории отрицательных чисел в конце XVII и начале XVIII вв. связано было с открытием Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчислений. Развитие новых областей высшей математики потребовало нового освещения отрицательных величин и выяснения их роли. Это было сделано в трудах Ньютона и Эйлера. Однако и во второй половине XVIII в. многие математики, даже такие крупные ученые, как Даламбер и Карно не признавали отрицательных чисел, считали их "ложными", недействительными. Они считали, что в математику не следует вводить отрицательных чисел, так как последние суть ничто иное, как вычитаемые положительные числа, а следовательно, и все действия должны сводиться исключительно к действиям с положительными числами.

Только в XIX в. отрицательные числа полностью вошли в обиход алгебры.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org