ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

Задача 2. Сосновая шпала весит 27,8 кг, а дубовая - 45,5 кг. 10 шпал весят 384,2 кг. Сколько среди них сосновых и сколько дубовых? (Подобные задачи обычно относят к типу "на предположение")

Решение. 10 шпал, если бы они все были дубовые, весили бы: 45,5 · 10 = 455 (кг). На сколько меньше весят 10 сосновых и дубовых шпал, чем 10 дубовых?

455 - 384,2 = 70,8 (кг).

На сколько дубовая шпала тяжелее сосновой?

45,5 - 27,8 = 17,7 (кг).

Сколько было сосновых шпал?

70,8 : 17,7 = 4.

Сколько было дубовых шпал?

10 - 4 = 6.

Ответ. 4 шпалы и 6 шпал.

6. Задачи на уравнивание данных

Задача 1. За 1,5 кг товара первого сорта и 28 кг второго сорта уплатили 252,5 руб. В другой раз за 30 кг второго сорта и 4,5 кг первого сорта уплатили 325,5 руб. Сколько стоит 1 кг каждого сорта?

Краткая запись условия:

1,5 кг I и 28 кг II - 252,5 руб.

4,5 кг I и 30 кг II - 325,5 руб.

Решение. Заметив, что во второй раз куплено в 3 раза больше товара первого сорта, можно уравнять число килограммов товара первого сорта, купленных оба раза. Для этого предполагаем, что первая покупка была в 3 раза больше данной условием. Тогда, имеем:

4,5 кг I и 84 кг II - 757 руб. 50 коп.

4,5 кг I и 30 кг II - 325 руб. 50 коп.

При этом предположении товара второго сорта купили на 54 кг больше (84 - 30 = 54), чем второй раз, и уплатили больше на 432 руб. (757 руб. 50 коп. - 325 руб. 50 коп. = 432 руб.). Тогда 1 кг товара второго сорта будет стоить: 432 : 54 = 8 (руб.) и 28 кг этого товара стоят 8 · 28 = 224 (руб.), а 1,5 кг товара первого сорта стоят 252,5 - 224 = 28,5 (руб.). следовательно, 1 кг его стоит 28,5 : 1,5 = 19 (руб.).

Ответ. 19 руб. и 8 руб.

Задача 2. За 30 тетрадей и 12 карандашей уплатили 96 коп. По той же цене за 20 тетрадей и 7 карандашей уплатили 61 коп. Сколько стоит тетрадь и сколько стоит карандаш?

Запись условия:

30 тетр. и 12 каранд. - 96 коп.

20 тетр. и 7 каранд. - 61 коп.

Решение. Уравняем число тетрадей, купленных в обеих покупках. Для этого предполагаем, что первая покупка в два раза, а вторая в три раза была больше действительной, тогда имеем:

60 тетр. и 24 каранд. - 1 руб. 92 коп.

60 тетр. и 21 каранд. - 1 руб. 83 коп.

Далее так же, как и в предыдущей задаче, находим стоимость карандаша и тетради.

Ответ. 2 коп. и 3 коп.

7. Задачи на смешение

Задача 1. Сплавили 180 г золота 920-й пробы со 100 г 752-й пробы. Какой пробы получился сплав?

Решение. В первом слитке чистого золота было 0,92 от 180 г, т.е. 180 · 0,92 = 165,6 (г). Во втором слитке чистого золота было 0,752 от 100 г, т.е. 100 · 0,752 = 75,2 (г). Следовательно, в полученном сплаве чистого золота содержится 165,6 + 75,2 = 240,8 (г). Общий вес сплава равен 180 + 100 = 280 (г). Его проба равна

Ответ. Получен сплав 860-й пробы.

Задача 2. К 2 кг воды прибавили 8 кг 70-процентного раствора серной кислоты. Определить процентную концентрацию полученного раствора.

Решение. 1) Сколько в растворе чистой (безводной) кислоты?

8 кг · 0,7 = 5,6 кг.

2) Чему равен вес раствора?

2 кг + 8 кг = 10 кг.

3) Чему равна процентная концентрация раствора?

5,6 кг : 10 кг = 0,56 = 56%.

Примечание. Если количество кислоты выражено не в килограммах, а в литрах, тo подобные задачи можно решать только с помощью таблиц удельных весов растворов серной кислоты. Рассмотрим, например, такую задачу. К 2 л воды прибавили 8 л 70-процентного раствора серной кислоты. Определить процентную концентрацию полученного раствора.

Решение. В таблице находим удельный вес 70-процентного раствора серной кислоты. Он равен 1,6. Следовательно, 8 л этого раствора весят 1,6 · 8 = 12,8 (кг). Безводной кислоты в нем содержится 12,8 · 0,7 = 8,96 (кг). Концентрация раствора равна 8,96 : 14,8 = 0,6 = 60%.

Рассмотренные задачи относятся к задачам на смешение первого рода. Они сравнительно не трудны.

Более сложными задачами являются задачи на смешение второго рода.

Задача 3. В каком отношении нужно взять два сорта товара стоимостью по 7,5 руб. за 1 кг и по 7 руб. за 1 кг, чтобы получить смесь стоимостью по 7,2 руб. за 1 кг?

Решение. Обозначив неизвестные количества товара ценой 7,5 руб. и 7 руб. за 1 кг соответственно через 𝑥1 и 𝑥2, составляем таблицу:

Далее рассуждаем так. При стоимости 1 кг смеси по 7,2 руб. каждый килограмм товара первого сорта оценивался дешевле его стоимости на 0,3 руб., а каждый килограмм второго сорта, вошедший в смесь, оценивался дороже на 0,2 руб.

Для того чтобы уменьшение стоимости первого сорта могло быть покрыто повышением стоимости второго сорта (стоимость всей покупки не изменилась), необходимо, чтобы каждый раз, когда берут 0,2 кг товара первого сорта, брали 0,3 кг второго сорта, т.е. 𝑥1 : 𝑥2 = 0,2 : 0,3, или 𝑥1 : 𝑥2 = 2 : 3.

Ответ. В отношении 2 : 3.

Задача 4. Из двух сплавов с 60-процентным и 80-процентным содержанием меди надо изготовить сплав весом 40 кг с 75-процентным содержанием меди. Сколько килограммов каждого сплава надо взять для этого?

Решение. Выражаем содержание меди в граммах на 1 кг сплава:

Ответ. 10 кг и 30 кг.

8. Задачи на движение. К арифметическим задачам на движение принадлежат такие, в которых на основании зависимости между временем, скоростью и расстоянием при равномерном движении надо найти одну из этих величин. В зависимости от их содержания различают задачи на встречное движение и на движение в одном направлении.

а) Встречное движение. Задача 1. Из города 𝑎 в 11 ч выехала легковая машина и движется со средней скоростью 50 км/ч по направлению к городу 𝐵. Через 30 мин навстречу ей из города 𝐵 вышла грузовая машина со средней скоростью 35 км/ч. В котором часу произойдет их встреча, если расстояние между городами равно 195 км (рис. 13)?

Рис. 13

Решение. 1) Какое расстояние пройдет легковая машина до выхода грузовой?

50 · 0,5 = 25 (км).

2) Какое расстояние пройдут до встречи при совместном движении легковая и грузовая машины?

195 - 25 = 170 (км).

3) На сколько километров сближаются за один час легковая и грузовая машины?

50 + 35 = 85 (км).

4) Через сколько часов после выхода грузовой машины они встретятся?

170 : 85 = 2 (ч).

5) В котором часу произойдет встреча машин?

11 ч + 30 мин + 2 ч = 13 ч 30 мин.

Ответ. В 13 ч 30 мин.

Задача 2. Из двух пунктов, расстояние между которыми 37 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста. Первый проходил за час на 0,5 км больше второго. С какой скоростью шел каждый турист, если через 2,5 ч после выхода расстояние между ними было 18,25 км?

Решение. Оба туриста прошли за 2,5 ч расстояние: 37 - 18,25 = 18,75 (км). За час они прошли 18,75 : 2,5 = 7,5 (км). Если бы скорость первого туриста была такая же, как и второго, они за час прошли бы 7,5 - 0,5 = 7 (км). Тогда второй турист за час проходил 7 : 2 = 3,5 (км), а первый - 3,5 + 0,5 = 4 (км).

Ответ. 4 км и 3,5 км.

б) Движение в одном направлении. Задача 3. Из пункта 𝑎 выехал велосипедист и едет по направлению пункта 𝐵 со средней скоростью 12 км/ч. Через 2 ч из этого же пункта отправился в том же направлении второй велосипедист со скоростью 18 км/ч. Через сколько часов и на каком расстоянии от 𝑎 второй велосипедист догонит первого?

Решение (рис. 14). 1) Какое расстояние проходит первый велосипедист до выхода второго?

12 · 2 = 24 (км).

Рис. 14

2) На сколько километров больше проходит в час второй велосипедист, чем первый?

18 - 12 = 6 (км).

3) Через сколько часов после своего выхода второй велосипедист догонит первого?

24 км : 6 км = 4 (ч).

4) На каком расстоянии от 𝑎 второй велосипедист догонит первого?

18 × 4 = 72 (км).

Ответ. 4 ч, 72 км.

Задача 4. Мотоциклист, отправляясь в экскурсию, рассчитал, что если он будет проезжать по 20 км/ч, то приедет на место на 15 мин раньше, чем если поедет со скоростью 18 км/ч. Какое расстояние он должен проехать?

Решение. 1) Сколько километров проехал бы мотоциклист за 15 мин со скоростью 20 км/ч?

(км).

2) На сколько километров больше проезжал бы мотоциклист за один час в первом случае, чем во втором?

20 - 18 = 2 (км).

3) За какое время мотоциклист пройдет все расстояние со скоростью 18 км/ч?

5 : 2 = 2,5 (ч).

4) Какое расстояние он должен проехать?

18 · 2,5 = 45 (км).

Ответ. 45 км.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2021 контакт: koshka@cartalana.org