ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

36. Арифметические задачи

1. Общие сведения. Различают арифметические задачи на вычисление, доказательство и исследование.

Рассмотрим несколько арифметических задач.

1. У ученика было 12 тетрадей, 5 тетрадей он списал. Сколько тетрадей у него осталось?

2. Доказать, что если к трехзначному числу приписать такое же число, то полученное шестизначное число будет обязательно делиться на 7, 11 и 13.

3. Существуют ли числа, которые при делении на 9 дают в остатке 5, а при делении на 15 дают остаток 6?

Первая из этих задач - на вычисление, вторая - на доказательство, третья - на исследование.

В каждой арифметической задаче даны некоторые числа, соотношения и т.д. и сформулированы некоторые требования. То, что дано в задаче, называется ее условием (Иногда условием задачи называют всю задачу, включая и вопрос или требование), что требуется сделать - требованием или вопросом. Решить задачу - значит выполнить то, что требуется в ней. В результате решения задачи получают ответ или решение.

Обычно арифметические задачи содержат лишь такие данные, которые необходимы и достаточны для получения определенного единственного ответа. Такие задачи называют определенными. Но иногда встречаются задачи, имеющие несколько и даже бесконечное множество решений; их называют неопределенными задачами. Бывают и такие задачи, которые не имеют ни одного решения; их называют переопределенными задачами. Иногда к переопределенным относят и такие задачи, которые имеют единственное решение, но все же содержат лишние числовые данные.

2. Арифметические задачи на вычисление. Арифметической задачей на вычисление называют требование определить численное значение какой-либо величины по известным численным значениям других величин, находящихся в определенной зависимости между собой и с искомым. Необходимыми элементами арифметической задачи на вычисления являются:

1) числовые данные;

2) словесные пояснения той зависимости, которая имеется между данными числами и между данными и искомыми;

3) тот вопрос задачи, ответ на который требуется найти.

Все арифметические задачи на вычисление принято делить на простые и составные. Простыми называются задачи, которые можно решить одним действием. Задачи, которые невозможно решить одним действием, называют составными.

Рассмотрим важнейшие типы составных арифметических задач.

3. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности

Задача 1. Кусок полотна в 104 м надо разрезать на 2 такие части, чтобы в первой было на 16 м больше, чем во второй. Сколько метров полотна будет в каждой части?

Решение. Если бы первая часть куска по длине была такая же, как вторая, т.е. на 16 м меньше, чем в действительности (рис. 8), то весь кусок имел бы

104 м - 16 м = 88 м.

Рис. 8

Разделив его пополам, получим длину второй части:

88 м : 2 = 44 м.

Тогда первая часть имеет:

44 м + 16 м = 60 м.

Ответ. 60 м и 44 м.

Примечание. Вместо последнего действия можно было бы выполнить иное: 104 м - 44 м = 60 м.

Можно было бы предположить, что вторая часть такая же, как первая. Тогда имели бы:

104 м + 16 м = 120 м,

120 м : 2 = 60 м,

60 м - 16 м = 44 м.

Можно эту задачу решить и таким способом. Искомые числа могут быть уравнены, если от большего отнять и прибавить к меньшему их полуразность (рис. 9). Следовательно,

104 м : 2 = 52 м.

16 м : 2 = 8 м, -

52 м + 8 м = 60 м,

52 м - 8 м = 44 м.

Рис. 9

Задача 2. На опытном участке площадью 940 кв. м имеется виноградник, фруктовый сад, полевые культуры и овощи. Площадь виноградника меньше площади сада на 120 кв. м, площадь под полевыми культурами больше площади виноградника на 40 кв. м, а площадь под овощами меньше площади полевых культур на 60 кв. м. Какова площадь сада, виноградника, полевых культур и овощей?

Решение. Из условия задачи видно, что наименьшая площадь под овощами. Она меньше площадей под полевыми культурами, виноградниками и садом соответственно на 60 кв. м, 20 кв. м и 140 кв. м (рис. 10). Следовательно, если из общей площади вычесть сумму приведенных выше чисел, получим учетверенную площадь под овощами:

940 - (60 + 20 + 140) = 720 (кв. м).

Тогда площадь под овощами равна:

720 кв. м : 4 = 180 кв. м,

под полевыми культурами:

180 кв. м + 60 кв. м = 240 кв. м,

под виноградником:

180 кв. м + 20 кв. м = 200 кв. м,

под садом:

180 кв. м + 140 кв. м = 320 кв. м.

Ответ. 320 кв. м, 200 кв. м, 240 кв. м и 180 кв. м.

Рис. 10

Задача 3. В двух участках земли было 24,27 га. Если бы от первого отрезать 3,5 га и прибавить ко второму, то в первом все- таки оказалось бы на 0,61 га больше, чем во втором. Каковы размеры каждого участка?

Решение. Первый участок больше второго (рис. 11) на

3,5 · 2 + 0,61 = 7,61 (га).

Рис. 11

Тогда площадь удвоенного второго участка будет:

24,27 - 7,61 = 16,66 (га). Следовательно, второй участок имеет

16,66 : 2 = 8,33 (га),

а первый:

8,33 + 7,61 = 15,94 (га).

Ответ. 15,94 га и 8,33 га.

4. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме или разности и отношению

Задача 1. В двух ящиках 390 болтов. Сколько болтов в каждом ящике, если число болтов во втором составляет числа болтов первого ящика?

Решение. Принимаем, что число болтов в первом ящике составляет одну часть. Тогда число болтов во втором ящике составит такой части. Следовательно, 390 болтов составляют части. Значит, в первом ящике

(болта),

а во втором

(болтов).

Ответ. 234 болта, 156 болтов.

Задача 2. Разность двух чисел равна 14. Частное от деления большего числа на меньшее равно . Найти эти числа.

Решение. Так как частное от деления большего числа на меньшее равно , то меньшее число составляет 1 часть, а большее - таких частей. Имеем: (части) составляет разность чисел 14; - меньшее число; - большее число.

Ответ. 18,2 и 4,2.

Задача 3. На одном складе в 3 раза больше муки, чем на другом. Если из одного склада вывезти 850 кг, а из другого 50 кг, то на обоих складах останется муки поровну. Сколько муки было на каждом складе?

Решение. Из рис. 12 ясно, что части имеющейся муки составляют 800 кг, значит, на втором складе было 400 кг ( часть), на первом - 1200 кг (3 части).

Ответ. 1200 кг, 400 кг.

Рис. 12

Задача 4. Разность двух чисел равна 40. Если из первого числа вычесть его, а из второго его, то получим равные остатки. Найти эти числа.

Решение. Разность 40 показывает, что одно число больше другого на 40. Кроме того, известно, что часть первого числа равна второго . Какое из этих чисел больше? Первое число больше, так как меньшая его часть, только равна второго числа, а все первое число будет равно: второго. Если первое число состоит из 5 частей, то второе состоит из трех таких же частей. 2 части составляют 40. Тогда легко найти, что первое число равно 100, а второе 60. Ответ. 100 и 60.

5. Задачи на исключение одного неизвестного заменой его другим

Задача 1. За 5 кг яблок и 3 кг винограда заплатили 2,8 руб. Сколько стоит килограмм яблок и килограмм винограда, если известно, что килограмм винограда на 0,4 руб. дороже килограмма яблок?

Решение. Заменим 3 кг винограда на 3 кг яблок.

1) На сколько рублей 3 кг яблок дешевле 3 кг винограда?

0,4 руб. · 3 = 1,2 руб.

2) Сколько килограммов весит вся покупка?

5 кг + 3 кг = 8 кг.

3) Сколько стоят 8 кг яблок?

2,8 руб. - 1,2 руб. = 1,6 руб.

4) Сколько стоит килограмм яблок?

1,6 руб. : 8 = 0,2 руб.

5) Сколько стоит килограмм винограда?

0,2 руб. + 0,4 руб. = 0,6 руб.

Ответ. 0,2 руб. и 0,6 руб.

Примечание. Можно было бы решить задачу иначе, заменив 5 кг яблок на 5 кг винограда. Тогда покупка стоила бы на 2 руб. дороже.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org