ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

34. Пропорциональная зависимость величин

1. Величины прямо пропорциональные. Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны и, обратно, длина стороны квадрата зависит от его площади.

Если две величины связаны между собой так, что с увеличением (уменьшением) значения одной из них в несколько раз соответствующее значение другой увеличивается (уменьшается) во столько же раз, то такие величины в арифметике называются прямо пропорциональными (В алгебре дается иное определение прямо пропорциональной зависимости величин).

Примеры. Время работы и заработок, полученный за это время при поденной оплате труда, - величины прямо пропорциональные, так как чем больше работает рабочий, тем больше его заработок, причем за три дня, например, он получает втрое больше, чем за один день. Длина стороны квадрата и его площадь - не прямо пропорциональны, так как с увеличением стороны вдвое площадь квадрата увеличивается не в 2 раза, а в 4.

Прямо пропорциональные величины обладают следующим свойством: если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины разно отношению двух соответствующих значений второй величины. Отсюда следует, что для данной пары прямо пропорциональных величин частное от деления любого значения одной величины на соответствующее значение другой величины есть число постоянное. Это постоянное число называется коэффициентом пропорциональности.

Обозначив какое-либо значение одной величины буквой 𝑦, а соответствующее значение другой величины - буквой 𝑥, определим коэффициент пропорциональности 𝑘 так: . Отсюда, 𝑦 = 𝑘𝑥. Это равенство называется формулой прямой пропорциональности.

Пример. При постоянной скорости время движения и расстояние, пройденное движущимся телом за это время, - величины прямо пропорциональные. Пусть, например, поезд движется равномерно со скоростью 50 км/ч. Тогда за 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч и т.д. он пройдет соответственно 50 км, 100 км, 150 км, 200 км и т.д. Отношения равны, так как каждое из них равно 50. Число 50 здесь и есть коэффициентом пропорциональности. Если обозначить время движения поезда буквой 𝑥, а расстояние, пройденное поездом за это время буквой 𝑦, то получим формулу 𝑦 = 50𝑥. Пользуясь этой формулой, можно узнать, сколько километров пройдет поезд за любое данное время. Например, если 𝑥 = 5, то 𝑦 = 250. Следовательно, за 5 ч поезд пройдет 250 км.

2. Величины обратно пропорциональные. Если две величины связаны между собой так, что с увеличением (уменьшением) значения одной из них в несколько раз значение другой соответственно уменьшается (увеличивается) во столько же раз, то такие величины называются обратно пропорциональными. Например, если на 15 руб. нужно купить несколько килограммов конфет, то количество конфет будет зависеть от цены одного килограмма. Во сколько раз выше цена, во столько раз меньше можно купить на эти деньги конфет.

Обратно пропорциональные величины обладают следующим свойством: если две величины обратно пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Отсюда можно сделать такой вывод: для данной пары обратно пропорциональных величин произведение любого значения одной величины на соответствующее значение другой величины есть число постоянное.

Обозначим некоторое значение одной величины буквой 𝑥, а соответствующее значение другой величины буквой 𝑦. Тогда 𝑥𝑦 = 𝑘. Отсюда . Это равенство называется формулой обратной пропорциональности.

Пример. Если покупать товар стоимостью в 1 руб., 1,5 руб., 2 руб., 3 руб. за килограмм, то за 15 руб. можно купить соответственно:

15 кг, 10 кг, 7,5 кг, 5 кг.

Здесь количество килограммов обратно пропорционально стоимости одного килограмма. Произведения 1 · 15; 1,5 · 10; 2 · 7,5; 3 · 5 равны, так как каждое из них равно 15.

35. Задачи на пропорциональные величины

1. Простое тройное правило. Из задач на пропорциональные величины наиболее часто встречаются задачи на так называемое простое тройное правило. В этих задачах даны три числа и требуется определить четвертое, пропорциональное к ним.

Задача 1. 10 болтов весят 4 кг. Сколько весят 25 таких болтов? Такие задачи можно решать несколькими способами.

Решение I (способом приведения к единице).

1) Сколько весит один болт?

4 кг : 10 = 0,4 кг.

2) Сколько весят 25 болтов?

0,4 кг · 25 = 10 кг.

Решение II (способом пропорций). Так как вес болтов прямо пропорциональный их количеству, то отношение весов равно отношению штук (болтов). Обозначив искомый вес буквой 𝑥, получим пропорцию:

𝑥 : 4 = 25 : 10,

откуда

(кг)

Можно рассуждать и так: 25 болтов больше 10 болтов в 2,5 раза. Следовательно, они тяжелее 4 кг тоже в 2,5 раза:

4 кг · 2,5 = 10 кг.

Ответ. 25 болтов весят 10 кг.

Задача 2. Первое зубчатое колесо делает 50 об/мин. Второе зубчатое колесо, сцепленное с первым, делает 75 об/мин. Найти число зубьев второго колеса, если число зубьев первого равно 30.

Решение (способом приведения к единице). Оба сцепленные зубчатые колеса передвинутся за минуту на одинаковое число зубьев, поэтому число оборотов колес обратно пропорционально числу их зубьев.

50 обор. - 30 зуб.

75 обор. - 𝑥 зуб.

𝑥 : 30 = 50 : 75; (зубьев).

Можно рассуждать и так: второе колесо делает оборотов в 1,5 раза больше первого (75 : 50 = 1,5). Следовательно, оно имеет зубьев в 1,5 раза меньше первого:

30: 1,5 = 20 (зубьев).

Ответ. 20 зубьев.

2. Сложное тройное правило. Задачи, в которых по данному ряду соответствующих друг другу значений нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений остальных величин, называют задачами на сложное тройное правило.

Задача. 5 насосов в течение 3 ч выкачали 1800 ведер воды. Сколько воды выкачают 4 таких насоса в течение 4 ч?

Решение.

5 нас. 3 ч - 1800 вед.

4 нас. 4 ч - 𝑥 вед.

1) Сколько ведер воды выкачал 1 насос в течение 3 ч?

1800 : 5 = 360 (ведер).

2) Сколько ведер воды выкачал 1 насос в течение 1 ч?

360 : 3 = 120 (ведер).

3) Сколько воды выкачают 4 насоса за 1 ч?

120 · 4 = 480 (ведер).

4) Сколько воды выкачают 4 насоса за 4 ч?

480 · 4 = 1920 (ведер).

Ответ. 1920 ведер

Сокращенное решение по числовой формуле:

(ведер).

3. Пропорциональное деление

Задача. Разделить число 100 на две части прямо пропорционально числам 2 и 3,

Эту задачу следует понимать так: разделить 100 на две части, чтобы первая относилась ко второй, как 2 к 3. Если обозначить искомые числа буквами 𝑥1 и 𝑥2 то эту задачу можно сформулировать и так. Найти 𝑥1 и 𝑥2 такие, чтоб

𝑥1 + 𝑥2 = 100,

𝑥1 : 𝑥2 = 2 : 3.

Такие задачи решают, пользуясь следующим правилом.

Чтобы разделить число на части прямо пропорционально нескольким данным числам, достаточно разделить его на сумму этих чисел и частное умножить на каждое из этих чисел.

Решим приведенную выше задачу.

Ответ. 40 и 60.

Аналогично делят числа на три и более частей, пропорционально данным числам.

Задача. Разделить 780 на четыре части пропорционально числам 1,5; 0,75; 0,4; 1,25.

Эту задачу следует понимать так: если обозначить искомые числа через 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 и 𝑥4, то:

𝑥1 : 𝑥2 = 1,5 : 0,75;

𝑥2 : 𝑥3 = 0,75 : 0,4;

𝑥3 : 𝑥4 = 0,4 : 1,25;

Коротко условились записывать это так:

𝑥1 : 𝑥2 : 𝑥3 : 𝑥4 = 1,5 : 0,75 : 0,4 : 1,25.

После замены отношения дробных чисел отношением целых чисел получим схематическую запись:

𝑥1 : 𝑥2 : 𝑥3 : 𝑥4 = 30 : 15 : 8 : 25.

𝑥1 = 10 · 30 = 300,

𝑥2 = 10 · 15 = 150 и т.д.

Чтобы разделить число на части обратно пропорционально данным числам, надо разделить его прямо пропорционально числам, обратным данным.

Задача. Разделить число 52 на три части обратно пропорционально числам 4, 6 и 8.

Решение. Числа, обратные данным, будут: . Следовательно,

Ответ. 24, 16 и 12.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org