ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

20. Действия над десятичными дробями

1. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. В десятичной дроби так же, как и в целом числе, значение цифры увеличивается в 10 раз при переходе на одно место справа налево и, наоборот, уменьшается в 10 раз при переходе на одно место слева направо. На основании этого можно быстро выполнять умножение и деление на 10, 100 и т.д.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д. надо перенести запятую соответственно на один, два, три и т.д. знака вправо. Если при этом нехватает знаков у числа, то приписывают нули.

Пример. 15,45 · 10 = 154,5; 32,3 · 100 = 3230.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо перенести запятую соответственно на один, два, три и т.д. знака влево. Если для перенесения запятой нехватает знаков, их число дополняют соответствующим числом нулей слева.

Примеры. 184,35 : 100 = 1,8435; 3,5 : 100 = 0,035.

2. Сложение и вычитание десятичных дробей. Десятичные дроби складывают и вычитают почти так же, как складывают и вычитают натуральные числа.

Примеры.

3. Умножение десятичных дробей. Чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно, не обращая внимания на запятые, перемножить их как целые числа и в произведении отделить запятой справа столько десятичных знаков, сколько их было во множимом и множителе вместе.

Пример 1. 2,064 · 0,05.

Перемножаем целые числа 2064 · 5 = 10320. В первом сомножителе было три знака после запятой, во втором - два. В произведении число десятичных знаков должно быть пять. Отделяем их справа и получаем 0,10320. Нуль, стоящий в конце, можно отбросить: 2,064 · 0,05 = 0,1032.

Пример 2. 1,125 · 0,08; 1125 · 8 = 9000.

Число знаков после запятой должно быть 3 + 2 = 5. Приписываем к 9000 нули слева (009000) и отделяем справа пять знаков. Получаем 1,125 · 0,08 = 0,09000 = 0,09.

4. Деление десятичных дробей. Рассматривается два случая деления десятичных дробей без остатка: 1) деление десятичной дроби на целое число; 2) деление числа (целого или дробного) на десятичную дробь.

Целение десятичной дроби на целое число выполняется так же, как и деление целых чисел; получаемые остатки раздробляют последовательно в меньшие десятичные части и продолжают деление до тех пор, пока в остатке будет нуль.

Примеры.

Деление числа (целого или дробного) на десятичную дробь во всех случаях приводят к делению на целое число. Для этого увеличивают делитель в 10, 100, 1000 и т.д. раз, а чтобы частное не изменилось, в то же число раз увеличивают и делимое, после чего делят на целое число (как в первом случае).

Пример. 47,04 : 0,0084 = 5600;

Во всех рассмотренных выше примерах деление доводилось до конца, т.е. получалось точное частное. Однако в большинстве случаев точное частное в виде десятичной дроби не может быть получено, как бы далеко ни продолжалось деление.

Пример. и т.д.

Здесь все время повторяется один и тот же остаток 2, следовательно, процесс деления можно продолжать без конца. Частное в данном случае можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби 0,08333...

5. Примеры на совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями. Рассмотрим сначала пример на все действия с десятичными дробями.

Пример 1. Вычислить:

Здесь пользуются приведением делимого и делителя к целому числу с учетом того, что частное при этом не изменяется. Тогда имеем:

При решении примеров на совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями часть действий можно выполнять в десятичных дробях, а часть - в обыкновенных. Надо иметь в виду, что не всегда обыкновенная дробь может быть превращена в конечную десятичную дробь. Поэтому записывать десятичной дробью можно только тогда, когда проверено, что такое преобразование возможно.

Пример 2. Вычислить:

21. Периодические десятичные дроби

1. Определение периодической десятичной дроби. Бесконечные десятичные дроби, в которых одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называются периодическими десятичными дробями. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби.

Периодические дроби бывают чистые и смешанные. Чистой периодической дробью называется такая, у которой период начинается сразу после запятой, например 2,363636...; смешанной - такая, у которой между запятой и первым периодом есть одна или несколько цифр неповторяющихся, например 0,5232232... Периодические дроби сокращенно пишут так: вместо 2,3636... пишут 2,(36): вместо 0,08333... пишут 0,08(3); вместо 0,5232232... пишут 0,5(232), т.е. заключают в скобки период.

Если обыкновенная несократимая дробь обращается в бесконечную десятичную дробь, то последняя будет обязательно периодической, причем, если у знаменателя дроби отсутствуют множители 2 и 5, она будет чистой периодической, если же знаменатель содержит множителем 2 или 5, она будет смешанной.

Примеры. Дробь превращается в чистую периодическую десятичную, так как 27 не делится ни на 2, ни на 5. Дробь превращается в смешанную периодическую, так как 12 делится на 2.

Действительно

Известно правило, позволяющее сразу определить, сколько будет цифр в периоде и сколько до периода, если превращать обыкновенную несократимую дробь в бесконечную десятичную.

Если , и 𝑐 взаимно простое с 10, то несократимая дробь превращается в такую бесконечную десятичную, в которой число цифр от запятой до первого периода равно большему из показателей α и β число цифр в периоде равно числу цифр в наименьшем из чисел 9, 99, 999, 9999 и т.д., которое делится на 𝑐.

Пример. Сколько цифр до периода и сколько в периоде имеет бесконечная десятичная дробь, равная ?

Решение. 440 = 23 · 5 · 11.

Больший показатель степени здесь равен 3. Следовательно, до периода должно быть 3 цифры. Число 99 делится на 11 (а 9 не делится), следовательно, в периоде должно быть 2 цифры.

Проверка.

2. Обращение периодической дроби в обыкновенную. Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную, достаточно записать числителем ее период, а знаменателем - число, выраженное столькими девятками, сколько цифр в периоде.

Примеры. .

Чтобы обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную, достаточно из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и полученную разность взять числителем, а знаменателем написать число, выраженное столькими девятками, сколько цифр в периоде и со столькими нулями на конце, сколько цифр между запятой и периодом.

Пример 1.

Пример 2. .

10. Историческая справка о десятичных дробях. Десятичные дроби были введены значительно позже, чем обыкновенные. Впервые теорию десятичных дробей разработал среднеазиатский математик и астроном ал-Каши в начале XV в. В Европе десятичные дроби были вторично открыты голландским математиком Симоном Стевином в 1585 г. Современное обозначение десятичных дробей - введение запятой для отделения целой части числа от дробной было предложено немецким астрономом И. Кеплером (1571-1630). В Англии и США вместо запятой до сих пор употребляется точка - знак, предложенный изобретателем логарифмов Джоном Непером в 1616 г. В России десятичные дроби впервые были изложены в "Арифметике" Магницкого.

22. Проценты

1. Понятие о проценте. Процентом какого-либо числа называется сотая часть этого числа. Например, вместо того, чтобы сказать "54 сотых всех жителей нашей страны составляют женщины", можно сказать "54 процента всех жителей нашей страны составляют женщины". Вместо слова "процент" пишут также значок %, например 35% - значит 35 процентов.

Слово "процент" происходит от латинских слов pro centum, что означают "с сотни". Раньше процентами называли деньги, которые должник должен был платить дополнительно за каждую занятую им сотню рублей.

Так как процент есть сотая часть, то отсюда следует, что процент есть дробь со знаменателем 100. Поэтому дробь 0,49, или , можно прочитать как 49 процентов и записать без знаменателя в виде 49%. Вообще, определив, сколько в данной десятичной дроби сотых частей, ее легко записать в процентах. Для этого пользуются правилом: чтобы записать десятичную дробь в процентах, надо перенести в этой дроби запятую на два знака вправо.

Примеры. 0,33 = 33%; 1,25 = 125%; 0,002 = 0,2%; 21 = 2100%.

И наоборот: 7% = 0,07; 24,5% = 0,245; 0,1% = 0,001; 200% = 2.

Иногда употребляют понятие промилле. Промилле числа называют тысячную долю этого числа. Слово промилле происходит от латинского pro mille - с тысячи. Обозначают промилле знаком ‰.

Пример. 0,002 = 0,2% = 2‰.

В тысячных долях выражают концентрации растворов, отношения веса чистого золота, серебра, платины к общему весу сплава и др. Однако в последнем случае вместо промилле употребляют слово проба. Пробой называют число граммов драгоценного металла в 1000 г сплава. Например, золотом 920-й пробы называют сплав, в 1000 г которого содержится 920 г чистого золота.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org