ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

ДРОБНЫЕ ЧИСЛА

14. Обыкновенные дроби

1. Доли единицы. Когда мы говорим, что от дома до школы полчаса ходьбы, то выражаем время не в целых часах, а в частях часа. Если одно яблоко нужно разделить поровну между тремя мальчиками, то каждый из них может получить только треть яблока, или третью его часть. В этих случаях мы имеем дело не с целыми единицами, а с их частями, или долями единицы. Доли могут быть самые разнообразные, например сантиметр есть сотая доля метра, грамм есть тысячная доля килограмма, минута есть шестидесятая доля часа и т.д.

2. Дробные числа. Число, составленное из одной или нескольких равных долей единицы, называется дробью (обыкновенной дробью). Например, 1 десятая, 3 пятых, 12 седьмых - дроби.

Числа, в состав которых входит целое число и дробь, называются смешанными числами. Например, если 5 яблок разделить между двумя мальчиками, то число яблок у каждого мальчика выразится целым числом (два) и некоторой дробью (половина), т.е. смешанным числом.

Дроби и смешанные числа вместе называют дробными числами. Получаются дробные числа в результате измерений и деления.

3. Изображение дроби. Дробь изображают с помощью двух натуральных чисел и дробной черты. Под чертой пишут число, показывающее, на сколько долей разделена единица. Оно называется знаменателем дроби. Над чертой пишут число, показывающее, сколько таких долей содержится в дроби. Оно называется числителем дроби. Числитель и знаменатель называются членами дроби. Например, у дроби числитель равен 5, а знаменатель 7. Читают дроби так: сначала называют числитель, потом - знаменатель, например:

- "две седьмых".

Примечание. Дроби и читаются одинаково: "сто двадцать пятых". В подобных случаях надо между произношением числителя и знаменателя делать паузу.

Смешанные числа изображают так: сначала пишут целое число, а затем рядом с ним справа приписывают дробь. Например, смешанное число "два и четыре пятых" записывают: .

4. Правильные и неправильные дроби. Различают дроби правильные и неправильные. Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Если же числитель больше знаменателя или равен ему, такая дробь называется неправильной. Например, дроби

- правильные,

- неправильные.

Правильная дробь меньше единицы, а неправильная - больше или равна единице.

5. Обращение неправильной дроби и смешанное число и обратное преобразование. Чтобы обратить неправильную дробь в смешанное число, нужно числитель дроби разделить на знаменатель и найти остаток; частное покажет число целых единиц, а остаток - число долей единицы.

Пример. , так как 20 : 3 = 6 (остаток 2).

Чтобы обратить смешанное число в неправильную дробь, нужно знаменатель умножить на целое число, к полученному произведению прибавить числитель и сделать эту сумму числителем искомой дроби, а знаменатель оставить прежний.

Пример. .

6. Сравнение дробей по величине. Две дроби считаются равными, если величины, выражаемые этими числами при одной и той же единице измерения, равны между собой. Например, , так как две длины, из которых одна составляет м, а другая м, равны (рис. 3)

Рис. 3

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та дробь больше, у которой больший числитель. Например, , так так 5 > 3.

Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, у которой знаменатель меньше. Например , поскольку 7< 11.

В общем случае дроби сравниваются по величине так. Умножают числитель первой дроби на знаменатель второй, а знаменатель первой на числитель второй. Если первое из этих произведений больше (равно или меньше) второго, значит и первая дробь соответственно больше (равна или меньше) второй.

Примеры.

, так как 5 · 9 > 6 · 7;

равно , так как 5 · 16 = 8 · 10;

, так как 10 · 6 < 7 · 9.

В некоторых случаях соотношение между дробями легче установить путем сравнения их с единицей или половиной.

Пример 1. Сравнить дроби и .

, а , следовательно, .

Пример 2. Сравнить дроби и .

, так как ;

, так как .

Следовательно, .

15. Изменение величины дроби с изменением ее членов

1. Кратное изменение числителя и знаменателя. Поскольку дробь можно рассматривать как частное от деления двух чисел, то при изменении членов дроби ее величина изменяется так же, как изменяется частное при изменении делимого и делителя.

Если числитель дроби увеличить или уменьшить в несколько раз, не изменяя знаменателя, то величина дроби соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.

Пример. Возьмем дробь и увеличим ее числитель в 2 раза.

Получим дробь , в 2 раза большую первоначальной (рис. 4).

Рис. 4

Если знаменатель дроби увеличить или уменьшить в несколько раз, то величина дроби соответственно уменьшится или увеличится во столько же раз. Если, например, знаменатель дроби увеличить в 2 раза, то величина дроби уменьшится в 2 раза (рис. 5).

Рис. 5

Величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель ее умножить на одно и го же число (или, что то же самое увеличить в одинаковое число раз.) Это утверждение называют основным свойством дроби.

В общем виде это свойство дроби можно записать так:

Отсюда следует, что величина дроби не изменится, если числитель и знаменатель ее разделить на одно и то же число (или, что то же самое, уменьшить в одинаковое число раз).

Пример. и, наоборот, (рис. 6).

Рис. 6

С увеличением числителя и знаменателя на одно и то же число дробь увеличивается, если она правильная, и уменьшается, если она неправильная и не равна единице.

Примеры.

16. Преобразование дробей

1. Сокращение дроби. Сокращением дроби называется замена ее другой, равной ей дробью с меньшими членами, путем деления числителя и знаменателя на их общий делитель.

Есть несколько способов сокращения дробей.

Первый способ. Последовательное сокращение на общие делители числителя и знаменателя.

Пример.

Второй способ. Полное сокращение на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

Пример. Сократить дробь .

Решение. НОД (840, 3600) = 120. Поэтому можно сразу сократить на 120:

Третий способ. Рассмотренными способами сокращают дроби в тех случаях, когда числитель и знаменатель легко разложить на множители! Если это не удается сделать быстро, пользуются алгоритмом Евклида.

Пример. Сократить дробь

Решение.

Как видим, НОД (14017, 12091) = 107. Поэтому

Если члены дроби не имеют общих делителей, то дробь называется несократимой. У такой дроби числитель и знаменатель взаимно простые числа. Две несократимые дроби равны только тогда, когда у них равны и числители, и знаменатели. Любая дробь равна одной и только одной несократимой дроби.

2. Раздробление дробей. Чтобы выразить дробь в меньших долях единицы, не изменяя ее величины, надо увеличить числитель и знаменатель в одно и то же число раз. Выражение дроби в меньших долях единицы называют раздроблением дробей.

Пример. Выразить дробь в пятнадцатых долях единицы.

Имеем:

3. Приведение дробей к общему знаменателю. Привести дроби к общему знаменателю - значит выразить их в одинаковых частях единицы без изменения величины дроби. Обычно приводят дроби к наименьшему общему знаменателю.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, поступают так: сокращают дроби, если это возможно; находят НОК всех знаменателей; вычисляют для каждой дроби частное от деления найденного НОК на ее знаменатель, т.е. дополнительные множители; умножают оба члена каждой дроби на соответствующий ей дополнительный множитель.

Пример. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби и .

Решение. НОК (72, 48) = 144. Дополнительные множители: 144 : 72 = 2, 144 : 48 = 3. Следовательно,

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org