ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

13. Недесятичные системы счисления

1. Систематические числа. Общепринятая сейчас система счисления называется десятичной, потому что по этой системе 10 единиц одного разряда составляют единицу следующего высшего разряда. В десятичной системе все числа записываются с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Если мы пишем, например, число 3827, то понимаем, что оно состоит из 3 тысяч, 8 сотен, 2 десятков и 7 единиц:

3827 = 3000 + 800 + 20 + 7,

или

3827 = 3 · 103 + 8 · 102 + 2 · 10 + 7.

Говорят: основанием десятичной системы счисления есть число 10.

Однако возможны и недесятичиые системы счисления. Можно считать не десятками, а, например, пятерками. Тогда 5 единиц первого разряда будут составлять одну единицу второго, а 5 единиц второго - одну единицу третьего разряда и т.д. В этом случае будем иметь систему счисления с основанием 5. Ее называют пятеричной системой счисления. Для записи чисел в пятеричной системе достаточно иметь пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4.

Возможны также двоичная, троичная, двенадцатеричная и другие системы счисления.

Чтобы не смешивать числа, записанные в различных системах, принято правее и несколько ниже последней цифры в скобках писать основание системы (Но иногда пишут и без скобок). Например, числа 214(5), 1011(2), 299(12) записаны соответственно в пятеричной, двоичной и двенадцатеричной системах. Это значит, что

214(5) = 2 · 52 + 1 · 5 + 4,

1011(2) = 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 2 + 1,

299(12) = 2 · 122 + 9 · 12 + 9.

Очевидно, в качестве основания системы счисления можно взять любое натуральное число, большее 1. Если за основание взять число 𝑔, тогда для записи любого числа достаточно иметь 𝑔 цифр: 0, 1, 2, 3, ..., 𝑔 - 1. Числа, записанные в системе счисления при основании 𝑔 в виде , где - цифры, называются вообще систематическими.

Примечание. Для изображения чисел по системе счисления, у которой основание превосходит 10, недостаточно наших цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Например, для двенадцатеричной системы пришлось бы ввести особые знаки для 10 и 11, потому что наши обозначения этих чисел выражали бы тогда другие числа, а именно: 10 означало бы 1 единицу 2-го разряда, т.е. дюжину, а 11 означало бы 1 единицу 2-го разряда и 1 единицу 1-го разряда, т.е. 13.

2. Переход от одной системы счисления к другой. Для перехода от одной системы к другой достаточно уметь:

а) переходить от любой системы счисления к десятичной;

б) переходить от десятичной системы к другой системе.

Переход от любой системы к десятичной выполняется путем прямого вычисления.

Пример. Дано число 3021(4), записать его в десятичной системе.

Решение. 3021(4) = 3 · 43 + 2 · 4 + 1 = 192 + 8 + 1 = 201.

Переход от десятичной системы к другой покажем на примере. Число 856 записать при основании 4.

Устанавливаем, сколько четверок содержится в числе 856: 856 : 4 = 214. Значит, число состоит из 214 единиц 2-го разряда (214 четверок). Сосчитаем единицы 2-го разряда четверками; делим 214 на 4; получаем 53 единицы 3-го разряда и 2 единицы 2-го разряда. Ведем теперь счет единиц 3-го разряда четверками; делим 53 на 4 и получаем 13 единиц 4-го разряда и одну единицу 3-го разряда. Делим теперь 13 на 4. Результат счета единиц 4-го разряда: 3 единицы 5-го разряда и одна единица 4-го разряда.

На письме этот процесс оформляют так:

Значит, данное число содержит 3 единицы 5-го разряда, 1 единицу 4-го разряда, 1 единицу 3-го разряда, 2 единицы 2-го разряда и 0 единиц 1-го разряда. Это число запишется так: 31120(4). Таким образом, 856(10) = 31120(4).

3. Арифметические действия над систематическими числами.

Сложение. Отыскание суммы сводится к сложению единиц одного и того же разряда, начиная с единиц 1-го разряда, и к преобразованию суммы единиц низшего разряда в высший, если эта сумма - число двузначное. Поэтому сложение можно производить непосредственно, как и в десятичной системе, используя таблицу сложения однозначных чисел.

Например, в системе счисления с основанием 4 таблица сложения имеет такой вид:

Пример. Сложить числа 2103(4) и 1312(4).

Решение.

Еще проще таблица сложения в двоичной системе счисления: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 10.

Пример.

Вычитание. Вычитание выполняем так же, как и в десятичной системе: подписываем вычитаемое под уменьшаемым и производим вычитание чисел, являющихся цифрами единиц соответствующих разрядов, начиная с 1-го; если вычитание единиц невозможно, производим в уменьшаемом раздробление единицы следующего высшего разряда и т.д.

Пример. Вычислить разность 2301(4) - 1223(4).

Решение.

От одной единицы 1-го разряда нельзя отнять 3, а единиц 2-го разряда в уменьшаемом нет, тогда берем одну единицу 3-го разряда, она содержит четыре единицы 2-го разряда, из них три оставляем на месте единиц 2-го разряда, а одну раздробим в единицы 1-го разряда, получим четыре единицы 1-го разряда, плюс одна единица 1-го разряда, которая у нас есть, всего имеем пять единиц, которые при основании 𝑔 = 4 запишутся как 11. Дальше вычитаем поразрядно: разность единиц 1-го разряда: 11 - 3 = 2; разность единиц 2-го разряда: 3 - 2 = 1; 3-го разряда: 2 - 2 = 0; 4-го разряда: 2 - 1 = 1. Результат: 1012(4).

Умножение. Умножение выполняется так же, как и в десятичной системе: подписываем множитель под множимым и производим умножение, используя таблицу умножения. Так, при 𝑔 = 7 таблица примет вид:

Пример. Вычислим 2034(7) · 5(7).

Решение.

Вычисляем: 4 · 5 = 26; 6 - цифра единиц; 2 прибавляем к произведению 3 · 5; 3 · 5 + 2 = 21 + 2 = 23; цифра единиц 2-го разряда 3; 2 прибавляем к произведению 0 · 5; 0 · 5 + 2 = 2; 2 - цифра единиц 3-го разряда; 2 · 5 = 13; 3 - цифра единиц 4-го разряда и 1 - цифра единиц 5-го разряда. Результат: 13236(7).

В двоичной системе таблица умножения следующая:

0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 1 · 1 = 1.

Пример.

Деление. Деление систематических чисел основано на тех же приемах, что и в случае 𝑔 = 10.

Пример: Вычислить частное 23604 · : 51 ·.

Решение.

Делитель - число двузначное, отделяем в делимом слева направо две цифры. Они выражают число всех единиц 4-го разряда, но 23(7)< 51(7), поэтому берем в делимом трехзначное число 236(7) и делим на 51(7); в частном получаем 3 единицы 3-го разряда; умножаем 51 · 3 и полученное произведение 213 вычитаем из 236, остаток 23 раздробим в единицы 2-го разряда и продолжаем деление, пока не получим остаток, меньший делителя.

4. Краткие исторические сведения о системах счисления. Человечество не сразу пришло к десятичной системе счисления. Одной из древнейших была пятеричная система счисления.

К III-II тысячелетиям до н.э. относится шумеро-вавилонская система счисления, основанием которой являлось число 60. Эта система имела значительные достоинства, так как число 60 делится на 1,2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, тогда как основание нашей системы 10 имеет только 4 делителя: 1, 2, 5 и 10. Остатки шести-десятеричной системы сохранились до сих пор (деление круга на 360°, деление градуса на 60 мин и на 3600 сек, деление часа на 60 мин и на 3600 сек). У народов, населявших в древности Европу, применялась система счисления с основанием двадцать, следы которой сохранились во французском и английском языках.

В различных языках остались также следы двенадцатеричной системы счисления (русское "дюжина" - 12, немецкое "гросс" равно 122). Некоторые ученые в XVIII в. предлагали даже заменить ею (как более удобною) десятичную систему.

Едва ли не самой древней была двоичная система счисления. В последнее время эта система нашла практическое применение в электронных счетных машинах: здесь важно то преимущество, что в ней пользуются только двумя цифрами: 0 и 1, а их легко передавать двумя операциями с электронными лампами: включением и выключением.

Таким образом, одно из древнейших достижений человеческой культуры возродилось на новой технической основе.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org