ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

9. Делимость чисел

1. Делимость суммы. Если каждое из слагаемых делится на какое-нибудь число, то и сумма их обязательно разделится на это же число.

Пример.

32 делится на 4,

16 делится на 4,

40 делится на 4,

следовательно, сумма 32 + 16 + 40 также делится на 4.

Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не разделится на это число.

Пример.

32 делится на 16,

16 делится на 16,

40 не делится на 16,

сумма 32 + 16 + 40 также не разделится на 16.

Если же два или больше слагаемых не делятся на какое-нибудь число, то о делимости суммы нельзя сказать ничего определенного: в одних случаях она делится, а в других не делится на данное число.

Пример. 13 и 7 не делятся ни на 5, ни на 6; сумма 13 + 7 делится на 5, но не делится на 6.

2. Делимость разности. Если уменьшаемое и вычитаемое делится на какое-нибудь число, то и разность разделится на это оке число.

Пример.

100 делится на 5,

35 делится на 5,

разность 100 - 35 делится на 5.

Если только одно из чисел - уменьшаемое или вычитаемое - делится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность не делится на это число.

Пример.

100 делится на 20,

30 не делится на 20,

разность 100 - 30 не делится на 20.

Если ни уменьшаемое, ни вычитаемое не делится на данное число, то разность их может делиться, а может и не делиться на это же число.

Пример. 100 и 30 не делится ни на 7 ни на 13. Их разность 100 - 30 делится на 7, но на 13 не делится.

3. Делимость произведения на число и числа на произведение. Если хоть один из сомножителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также разделится на это число.

Пример. 15 делится на 3, следовательно, каждое из произведений 15 · 17, 8 · 15 · 101, 23 · 15 · 15 также делится на 3.

Если же ни один из сомножителей не делится на данное число, то из этого еще не следует, что на данное число не разделится и их произведение.

Пример. Ни 15, ни 10 не делится на 6, а их произведение 15 · 10 на 6 делится.

Если данное число делится на произведение, то оно делится также на каждый из сомножителей этого произведения.

Пример. 90 делится на произведение 2 · 3 · 5, поэтому 90 делится и на 2, и на 3, и на 5.

Обратное утверждение ошибочно. Если какое-нибудь число делится в отдельности на несколько данных чисел, то на их произведение оно может и не разделиться.

Пример. 180 делится и на 5, и на 9, и на 6, но на произведение 5 · 9 · 6 оно не делится.

Примечание. Если же данное число делится на несколько попарно взаимно простых чисел, то оно делится и на их произведение.

Пример. 180 делится на 5, 3 и 4; эти числа попарно взаимно простые, поэтому 180 делится и на произведение 5 · 3 · 4.

10. Признаки делимости

Деление без остатка не всегда может быть выполнено. Чтобы, не выполняя деления, установить, делится или не делится одно число на другое, пользуются признаками делимости.

1. Признак делимости на 10. На 10 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются нулями.

Пример. Число 2350 делится на 10.

2. Признак делимости на 2 и на 5. На 2 или на 5 делятся те и только те числа, у которых последняя цифра выражает число, делящееся соответственно на 2 или на 5.

Примеры. Число 140 делится и на 2, и на 5, так как оно оканчивается нулем (а нуль делится на любое число). Число 1306 делится на 2, так как последняя его цифра 6 выражает число, делящееся на 2, но на 5 это число не делится, так как 6 не делится на 5. Число 2035 делится на 5, так как 5 делится на 5, но на 2 это число не делится, так как 5 не делится на 2.

3. Признак делимости на 3 и на 9. На 3 или на 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр (Выражение "сумма цифр" употребляется с целью упрощения формулировки вместо слов "сумма однозначных чисел, выраженных цифрами", ведь цифры - только значки, и действия выполняются над числами, а не над цифрами) делится соответственно на 3 или на 9.

Пример. Число 31521 делится на 3, так как сумма его цифр 3 + 1 + 5 + 2 + 1 = 12 делится на 3. На 9 это число не делится, так как 12 не делится на 9. Число 5193 делится на 9, так как сумма его цифр 5 + 1 + 9 + 3 = 18 делится на 9. Это число делится также и на 3 (если число делится на 9, то, естественно, оно делится и на 3).

4. Признаки делимости на 4 и на 25. На 4 или на 25 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 4 или на 25.

Пример. Число 4600 делится и на 4, и на 25, так как оно оканчивается двумя нулями (следовательно, делится на 100 = 4 · 25). Число 1264 делится на 4, так как 64 делится на 4, но это число не делится на 25, так как 64 не делится на 25. Число 1275 делится на 25, так как 75 делится на 25, но не делится на 4, так как 75 не делится на 4.

5. Признак делимости на 8 и на 125. На 8 или на 125 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями, а также у которых три последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 8 или на 125.

Пример. Число 3279000 делится и на 8 и на 125, так как оно делится на 1000 = 8 · 125. Число 5248 делится на 8, но не делится на 125, так 248 делится на 8, ко не делится на 125.

6. Признак делимости на 7, 11 и 13. На 7, 11, или 13 делятся те и только те числа, у которых разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами (или наоборот), делится соответственно на 7, на 11, или на 13.

Пример. Число 253253 делится и на 7, и на 11, и на 13, так как разность 253 - 253 = 0, а нуль делится на любое число (не равное нулю). Число 253264 делится на 11, но не делится ни на 7, ни на 13, так как разность 264 - 253 = 11 делится на 11, но не делится ни на 7, ни на 13. Число 1208965 не делится ни на 7, ни на 11, ни на 13, так как разность 1208 - 965 = 243 не делится ни на одно из этих чисел.

7. Признаки делимости на 6, 12, 18, 24 и т.д. На 6 делятся те и только те числа, которые делятся на 2 и на 3.

Пример. Число 31242 делится на 6, так как оно делится на 2 и на 3 (а числа 2 и 3 не имеют общих множителей, больших 1).

На 12 делятся те и только те числа, которые делятся на 3 и на 4 (но не на 2 и на 6, так как 2 и 6 имеют общий множитель, поэтому, например, 18 делится и на 2 и на 6, но не делится на 12).

Пример. 216 делится на 12, так как оно делится на 3 и на 4.

На 18 делятся те и только те числа, которые делятся на 2 и на 9.

Пример. 9396 делится на 18, так как оно делится на 2 и на 9.

Существуют признаки делимости и на другие числа, но они сложные, поэтому в таких случаях иногда пользуются общим признаком делимости чисел.

8. Общий признак делимости чисел. Для того чтобы число 𝑛 делилось на 𝑑, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений цифр этого числа на остатки, получаемые от деления на 𝑑 соответствующих степеней десяти, делилась на 𝑑.

Если и , то 𝑛 делится на 𝑑 в том и только в том случае, когда на 𝑑 делится сумма:

.

Из общего признака легко вывести рассмотренные выше частные признаки делимости и некоторые другие. Пусть, например, 𝑑 = 11. Тогда

и т.д.

Следовательно, при 𝑑 = 11𝑀 = 𝑎0 - 𝑎1 + 𝑎2 - 𝑎3 + 𝑎4 -... Имеем такой признак: на 11 делятся все те и только те числа, у которых разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой остальных цифр делится на 11.

Пример. Делится ли на 11 число 47214051819?

9 + 8 + 5 + 4 + 2 + 4 = 32, 1 + 1 + 0 + 1 + 7 = 10, 32 - 10 = 22.

22 делится на 11, следовательно, и данное число делится на 11.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org