ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

3. Свойства арифметических действий

1. Свойства сложения.

а) Переместительный закон сложения. Сумма не изменяется от перемены мест слагаемых. Переместительный закон в общем виде записывается равенством:

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, где 𝑎 - первое слагаемое, 𝑏 - второе слагаемое.

Примеры:

3 + 5 = 5 + 3;

4 + 0 = 0 + 4.

б) Сочетательный закон сложения. Сумма не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой. В общем виде это свойство для трех слагаемых записывается так:

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐).

Пример. 35 + 15 + 20 = 35 + (15 + 20).

Переместительный и сочетательный законы называют также соответственно коммутативным и ассоциативным законами.

в) Прибавление суммы к числу и числа к сумме. Чтобы прибавить к какому-нибудь числу сумму нескольких чисел (или наоборот), достаточно прибавить к этому числу одно слагаемое, к полученной сумме прибавить второе слагаемое и т.д.

Примеры.

584 + (12 + 23 + 34) = 584 + 69 = 653, или

584 + 12 = 596; 596 + 23 = 619; 619 + 34 = 653.

(345 + 424 + 576) + 55 = 1345 + 55 = 1400, или

345 + 55 = 400; 400 + (424 + 576) = 1400.

2. Свойства вычитания.

а) Вычитание суммы из числа. Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа одно слагаемое, из полученной разности - второе слагаемое и т.д.

Обозначим уменьшаемое буквой 𝑎, отдельные слагаемые вычитаемой суммы буквами бис, тогда свойство можно записать так:

𝑎 - (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 - 𝑏 - 𝑐.

Пример. 25 - (13 + 5) = 25 - 5 - 13 = 20 - 13 = 7.

б) Вычитание числа из суммы. Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из какого-нибудь одного слагаемого (предполагается, что слагаемое больше вычитаемого) и полученную разность прибавить к сумме остальных слагаемых. Это свойство с помощью букв записывается так:

(𝑎 + 𝑏) - 𝑐 = (𝑎 - 𝑐) + 𝑏 = 𝑎 + (𝑏 - 𝑐).

Примеры.

(36 + 27) - 16 = (36 - 16) + 27 = 47,

(36 + 27) - 17 = 36 + (27 - 17) = 46.

в) Прибавление разности. Чтобы прибавить разность к числу, достаточно прибавить к нему уменьшаемое и из полученной суммы вычесть вычитаемое. Это свойство с помощью букв записывается так:

𝑎 + (𝑏 - 𝑐) = 𝑎 + 𝑏 - 𝑐.

Пример. 50 + (36 - 16) = 50 + 20 = 70, или 50 + 36 = 86, 86 - 16 = 70.

г) Вычитание разности. Чтобы вычесть разность из числа, достаточно вычесть из него уменьшаемое (если это возможно) и к полученной разности прибавить вычитаемое.

Это свойство в общем виде записывается так:

𝑎 - (𝑏 - 𝑐) = 𝑎 - 𝑏 + 𝑐.

Пример. 65 - (35 - 18) = (65 - 35) + 18 = 48.

3. Свойства умножения

а) Переместительный закон умножения. Произведение не изменяется от перемены мест сомножителей.

Если обозначим первый сомножитель буквой 𝑎, а второй - буквой 𝑏, то переместительный закон можно записать в виде такого равенства:

𝑎𝑏 = 𝑏𝑎.

Пример. 5 · 6 = 6 · 5.

б) Сочетательный закон умножения. Произведение не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей заменить их произведением.

В общем виде этот закон можно записать так:

𝑎𝑏𝑐 = 𝑎 (𝑏𝑐).

Пример. 12 · 8 · 4 = (12 · 8) · 4 = 12 · (8 · 4) = 384.

в) Распределительный закон умножения (относительно суммы). Произведение суммы нескольких чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число. В общем виде для случая трех слагаемых этот закон можно записать так:

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝑑 = 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 + 𝑐𝑒.

Пример. (30 + 45 + 120) · 12 = 30 · 12 + 45 · 12 + 120 · 12 = 360 + 540 + 1440 = 2340.

Переместительный, сочетательный и распределительный законы называют также соответственно коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным.

г) Умножение произведения на число и числа на произведение. Чтобы умножить произведение нескольких чисел на какое-нибудь число (или наоборот), достаточно один из сомножителей произведения умножить на это число, оставив другие сомножители без изменения.

Примеры.

(35 · 12) · 4 = (35 · 4) · 12 = 140 · 12 = 1680,

20 · (7 · 18 · 5) = (20 · 5) · 7 · 18 = 100 · 7 · 18 = 12600.

д) Умножение разности на число. Чтобы умножить разность на число, достаточно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое и затем из первого произведения вычесть второе.

В общем виде это свойство записывается так:

(𝑎 - 𝑏) 𝑐 = 𝑎𝑐 - 𝑏𝑐.

Пример. (35 - 15) · 4 = 35 · 4 - 15 · 4 = 140 - 60 = 80.

Примечание. Это свойство иногда называют также распределительным законом умножения относительно разности.

4. Свойства деления.

а) Деление суммы на число. Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое отдельно (если это возможно) и полученные частные сложить. В общем виде это записывается так:

(𝑎 + 𝑏) : 𝑐 = 𝑎 : 𝑐 + 𝑏 : 𝑐.

Пример. (8 + 12) : 4 = 8 : 4 + 12 : 4 = 2 + 3 = 5.

б) Деление разности на число. Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, достаточно (если это возможно) разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно, а потом из первого частного вычесть второе. При помощи букв это свойство можно записать так:

(𝑎 - 𝑏) : 𝑐 = 𝑎 : 𝑐 - 𝑏 : 𝑐.

Пример. (18 - 6) : 3 = 18 : 3 - 6 : 3 = 6 -2 = 4.

Однако в примере (17 - 7) : 5 надо сперва найти разность 17 - 7.

в) Деление числа на произведение. Чтобы разделить число на произведение, достаточно разделить это число на один сомножитель, полученное частное разделить на второй сомножитель, вновь полученное частное разделить на третий сомножитель и т.д.

Пример. 960 разделить на произведение 4 · 6 · 8 можно так: 960 : 4 = 240; 240 : 6 = 40; 40 : 8 = 5.

г) Деление произведения на число. Частное от деления произведения двух сомножителей на число равно произведению одного из сомножителей на частное от деления другого сомножителя на это число (если такое деление выполнимо).

В общем виде

(𝑎𝑏) : 𝑐 = (𝑎 : 𝑐) 𝑏.

Это свойство остается справедливым и в случае произведения нескольких сомножителей; с помощью букв оно записывается так:

(𝑎𝑏𝑐) : 𝑑 = (𝑎 : 𝑑) 𝑏𝑐.

Пример. Разделить произведение 24 · 18 · 10 (равное 4320) на 8 можно так:

24 : 8 = 3; 3 · (18 · 10) = 3 · 180 = 540.

Однако в примере (6 · 8) : 16 надо сперва вычислить произведение 6 · 8.

д) Умножение числа на частное. Чтобы умножить число на частное, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель.

При помощи букв это свойство можно записать:

𝑎 (𝑏 : 𝑐) = (𝑎𝑏) : 𝑐.

Пример. 6 · (200 : 5) можно решить так:

6 · 200 = 1200; 1200 : 5 = 240.

е) Деление числа на частное. Чтобы разделить число на частное, достаточно (если это возможно) разделить данное число на делимое и полученное частное умножить на делитель.

В общем виде

𝑎 : (𝑏 : 𝑐) = (𝑎 : 𝑏) 𝑐

Пример. 360 : (180 : 6) можно решить так:

360: 180 = 2; 2 · 6 = 12.

Но пример 30 : (60 : 10) так решить нельзя, так как число 30 на 60 не делится.

ж) Деление частного на число. Чтобы разделить частное на число, достаточно умножить делитель на это число и на полученное произведение разделить делимое. Можно также разделить делимое на данное число, а полученное частное разделить на делитель.

В общем виде

(𝑎 : 𝑏) : 𝑐 = 𝑎 : (𝑏𝑐) или (𝑎 : 𝑏) : 𝑐 = (𝑎 : 𝑐) : 𝑏.

Пример. (1200 : 15) : 40 можно вычислять тремя способами:

а) (1200 : 15) : 40 = 80 : 40 = 2;

б) (1200 : 15) : 40 = 1200 : (15 · 40) = 1200 : 600 = 2;

в) (1200 : 15) : 40 = (1200 : 40) : 15 = 30 : 15 = 2.

5. Зависимость между данными числами и результатами действий над ними.

Сложение. Если известна сумма двух слагаемых, а одно слагаемое неизвестно, то, чтобы найти его, достаточно из суммы вычесть известное слагаемое, т.е., если

𝑎 + 𝑏 = 𝑐, то 𝑎 = 𝑐 - 𝑏 и 𝑏 = 𝑐 - 𝑎.

Пример. 𝑖 + 30 = 42; 𝑥 = 42 - 30; 𝑥 = 12.

Вычитание. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, достаточно к вычитаемому прибавить разность, т.е., если 𝑎 - 𝑏 = 𝑐, то 𝑎 = 𝑏 + 𝑐.

Пример, 𝑥 - 8 = 5; 𝑖 = 8 + 5; 𝑖 = 13.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, достаточно из уменьшаемого вычесть разность, т.е., если 𝑎 - 𝑏 = 𝑐, то 𝑏 = 𝑎 - 𝑐.

Пример. 45 - 𝑥 = 15; 𝑥 = 45 - 15; 𝑥 = 30.

Умножение. Чтобы найти неизвестный сомножитель, достаточно разделить произведение на известный сомножитель (или на произведение известных сомножителей): если 𝑎𝑏 = 𝑐, то 𝑎 = 𝑐 : 𝑏, 𝑏 = 𝑐 : 𝑎.

Примеры:

а) 25𝑖 = 200; 𝑖 = 200 : 25; 𝑥 = 8.

б) 3 · 5𝑥 · 2 = 210; 𝑥 = 210 : (3 · 5 · 2); 𝑥 = 7.

Деление. Чтобы найти неизвестное делимое, достаточно делитель умножить на частное, т.е., если 𝑎 : 𝑏 = 𝑐, то 𝑎 = 𝑏𝑐.

Пример. 𝑥 : 25 = 3; 𝑖 = 25 · 3; 𝑥 = 75.

Чтобы найти неизвестный делитель, достаточно делимое разделить на частное, т.е., если 𝑎 : 𝑏 = 𝑐, то 𝑏 = 𝑎 : 𝑐.

Пример. 400: 𝑖 = 16; 𝑖 = 400 : 16; 𝑖 = 25.

Чтобы найти делимое при делении с остатком, достаточно делитель умножить на частное и прибавить остаток.

В общем виде, если при делении 𝑎 на 𝑏 получили частное 𝑞 и остаток 𝑟, то 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟.

Пример.

Если 30 : 4 = 7 (ост. 2), то 30 = 4 · 7 + 2.

𝑖 : 5 = 4 (ост. 3), то 𝑖 = 5 · 4 + 3 = 23.

Чтобы найти делитель при делении с остатком, достаточно из делимого вычесть остаток и разность разделить на частное.

С помощью букв можно записать так:

𝑏 = (𝑎 - 𝑟) : 𝑞.

Пример. 40 : 𝑥 = 6 (ост. 4), 𝑖 = (40 - 4): 6 = 6.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ 

cartalana.orgⒸ 2008-2020 контакт: koshka@cartalana.org